请帮我证明一个简单的初等数论定理

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 05:17:09

请帮我证明一个简单的初等数论定理
怎么证明对任意v>u的正整数v和u,如果v和u没有公因子且不同时是奇数,则公式
A=v^2-u^2
B=2uv
C=v^2+u^2
产生了全部的素毕达哥拉斯三元数（素毕达哥拉斯三元数是两两之间没有公因子还是这三个数之间没有公因子?

素毕达哥拉斯数是指这三个数之间没有大于1的公因子即最大公约数是1
下面证明你的问题
（1）首先证明按照你说的方法产生的A B C 是素毕达哥拉斯三元数很简单的明显有A^2+B^2=C^2
（2）其次证明所有的素毕达哥拉斯三元数 A B C （为方便计不妨设A^2+B^2=C^2）均存在
互质的正整数v u(v>u 切 v u不同奇偶) 使得A=v^2-u^2 B=2vu C=v^2+u^2
或者 A=2vu B=v^2-u^2 C=v^2+u^2
1）由于 A B C的最大公约数是1 从而 ABC三个数不可能都是偶数从而A B C三个中最多只有一个偶数
2）下证 A B C中恰好只有一个偶数并且这个偶数不是C
若C为偶数则A B为奇数那么A^2=1(mod 4) B^2=1(mod 4) C^2=0(mod 4)
从而 A^2+B^2=C^2得 1+1=2=0(mod 4) 显然不成立矛盾所以C是奇数
3）若A为奇数 B^2=C^2-A^2=(C+A)(C-A) 由于C为奇数所以C+A C-A均为偶数故B为偶数
若B为奇数 A^2=C^2-B^2=(C+B)(C-B) 由于C为奇数所以C+B C-B均为偶数故A为奇数
4）由上面分析可得 C是奇数 A B一奇一偶不妨设A是奇数 B是偶数
那么由3）的第一条知道 C+A为偶 C-A为偶从而 (C+A)/2 (C-A)/2 B/2均为正整数
故由B^2=(C+A)(C-A)可知 (B/2)^2=[(C+A)/2]*[(C-A)/2]
下证 (C+A)/2 (C-A)/2 互质否则存在质数p>1 使得 p|(C+A)/2 p|(C-A)/2
则有p|[(C+A)/2+(C-A)/2]=C p|[(C+A)/2-(C-A)/2]=A 所以p|C p|A 从而p|B 这与
A B C互质矛盾故(C+A)/2 (C-A)/2互质
由于(C+A)/2 (C-A)/2互质而B^2=[(C+A)/2]*[(C-A)/2]
从而必存在正整数 v u使得(C+A)/2=v^2 (C-A)/2=u^2 从而 C=v^2+u^2 A=v^2-u^2
B=2vu

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