作业帮初等数论证明题 数论定理
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/10 10:40:01
初等数论证明题 数论定理
1
x,y为正无理数 且满足1/x+1/y=1
求证:当a取遍所有正整数时 [xn],[yn]恰取遍所有正整数
(其中[]为高斯取整函数)
2
并求证:以上命题的逆命题亦成立
3
并且提问 以上命题是什么定理
1
x,y为正无理数 且满足1/x+1/y=1
求证:当a取遍所有正整数时 [xn],[yn]恰取遍所有正整数
(其中[]为高斯取整函数)
2
并求证:以上命题的逆命题亦成立
3
并且提问 以上命题是什么定理
1. 先证明没有重复.
易见x, y > 1, 故数列{[nx]}与{[ny]}分别严格递增.
只需再证明二者没有公共项.
假设二者有公共元素k, 即存在正整数m, n使[nx] = k = [my].
则k ≤ nx < k+1, k ≤ my < k+1.
由x, y是无理数, 上面两式的等号都不能成立, 即有k < nx < k+1, k < my < k+1.
再由1/x+1/y = 1可得k = k/x+k/y < n+m < (k+1)/x+(k+1)/y = k+1.
这与k, m, n均为整数矛盾, 故两数列没有公共元素.
再证明没有遗漏.
假设正整数k在两数列中均不出现.
取n为使[nx] > k的最小正整数, 则有k > [(n-1)x].
可改写为[nx] ≥ k+1, k-1 ≥ [(n+1)x], 进而有nx ≥ k+1, k > (n-1)x.
由x为无理数, 前者的等号不能成立, 有nx-1 > k > (n-1)x.
同理, 取m为使[my] > k的最小正整数, 则有my-1 > k > (m-1)y.
由1/x+1/y = 1可得n+m-1 = n-1/x+m-1/y > k/x+k/y = k > n-1+m-1 = n+m-2.
同样与k, m, n均为正整数矛盾.
综上, {[nx]}与{[ny]}不重不漏的取遍全体正整数. 证毕.
2. 设x < p/q, 其中p, q为正整数.
则[x] < [2x]
易见x, y > 1, 故数列{[nx]}与{[ny]}分别严格递增.
只需再证明二者没有公共项.
假设二者有公共元素k, 即存在正整数m, n使[nx] = k = [my].
则k ≤ nx < k+1, k ≤ my < k+1.
由x, y是无理数, 上面两式的等号都不能成立, 即有k < nx < k+1, k < my < k+1.
再由1/x+1/y = 1可得k = k/x+k/y < n+m < (k+1)/x+(k+1)/y = k+1.
这与k, m, n均为整数矛盾, 故两数列没有公共元素.
再证明没有遗漏.
假设正整数k在两数列中均不出现.
取n为使[nx] > k的最小正整数, 则有k > [(n-1)x].
可改写为[nx] ≥ k+1, k-1 ≥ [(n+1)x], 进而有nx ≥ k+1, k > (n-1)x.
由x为无理数, 前者的等号不能成立, 有nx-1 > k > (n-1)x.
同理, 取m为使[my] > k的最小正整数, 则有my-1 > k > (m-1)y.
由1/x+1/y = 1可得n+m-1 = n-1/x+m-1/y > k/x+k/y = k > n-1+m-1 = n+m-2.
同样与k, m, n均为正整数矛盾.
综上, {[nx]}与{[ny]}不重不漏的取遍全体正整数. 证毕.
2. 设x < p/q, 其中p, q为正整数.
则[x] < [2x]