如果gcd(a b)=1 ,证明gcd(ab,c)=gcd(a,c)*gcd(b,c) 怎么证阿

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 10:13:32

如果gcd(a b)=1 ,证明gcd(ab,c)=gcd(a,c)*gcd(b,c) 怎么证阿
如题
回答对的话可以追加悬赏

设x=gcd(ab,c),y=gcd(a,c),z=gcd(b,c)
则x|ab 且x|c 因gcd(a,b)=1 所以x|a或x|b
若x|a且x|c 则x|gcd(a,c) 即x|y
若x|b且x|c 则x|gcd(b,c) 即x|z
所以x|yz
又y|a且 y|c z|b且 z|c
由y|a且 y|c 可得到y|ab 且y|c 那么y|gcd(ab,c)
同理 z|gcd(ab,c) 所以lcm(y,z)|gcd(ab.c)
注意到y|a ,z|b 而gcd(a,b)=1 所以gcd(y,z)=1 有 lcm(y,z)=yz
注lcm最小公倍数
所以yz|gcd(ab,c)
所以x|yz yz|x
x=yz
再问：为什么 gcd(a,b)=1 所以x|a或x|b
再答：错了，刚才没想清楚 x|ab gcd(a,b)=1 ，则存在x=uv,其中u|a ,v|b u|a u|c ==》u|gcd(a,c) 即u|y v|b v|c ==》v|gcd(b,c) v|z 所以 uv|yz 即x|yz

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