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已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，-3）．

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/19 01:38:45
已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，-3）．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）如图①，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E．是否存在一点P，使线段PE的长最大？若存在，求出PE长的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，过点A作y轴的平行线，交直线BC于点F，连接DA、DB．四边形OAFC沿射线CB方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点C与点B重合时立即停止运动．设运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积为S，请求出S与t的函数关系式．
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（3，0），C（0，-3）．
∴

9a+3b+c＝0
a+b+c＝0
c＝−3，
解得

a＝−1
b＝4
c＝−3，
∴抛物线的解析式：y=-x2+4x-3，
由y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，
可知：顶点D的坐标（2，1）．

（2）存在；
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
则

3k+b＝0
b＝−3，
解得

k＝1
b＝−3，
∴直线BC的解析式为y=x-3，
设P（x，-x2+4x-3），则E（x，x-3），
∴PE=（-x2+4x-3）-（x-3）=-x2+3x=-（x-
3
2）2+
9
4，
∴当x=
3
2时，PF有最大值为
9
4．
∴存在一点P，使线段PE的长最大，最大值为
9
4．

（3）∵A（1，0）、B（3，0）、D（2，1）、C（0，-3），
∴可求得直线AD的解析式为：y=x-1；
直线BC的解析式为：y=x-3．
∴AD∥BC，且与x轴正半轴夹角均为45°．
∵AF∥y轴，
∴F（1，-2），
∴AF=2．
①当0≤t≤
2时，如答图1-1所示．
此时四边形AFF′A′为平行四边形．

设A′F′与x轴交于点K，则AK=

2
2AA′=

2
2t．
∴S=S▱AFF′A′=AF•AK=2×

2
2t=
2t；
②当
2＜t≤2
2时，如答图1-2所示．
设O′C′与AD交于点P，A′F′与BD交于点Q，
则四边形PC′F′A′为平行四边形，△A′DQ为等腰直角三角形．

∴S=S▱PC′F′A′-S△A′DQ=2×1-
1
2（t-
2）2=-
1
2t2+
2t+1；
③当2
2＜t≤3
2时，如答图1-3所示．
设O′C′与BD交于点Q，则△BC′Q为等腰直角三角形．

∵BC=3
2，CC′=t，
∴BC′=3
2-t．
∴S=S△BC′Q=
1
2（3
2-t）2=
1
2t2-3
2t+9．
综上所述，S与t的函数关系式为：
S=

2t(0≤t≤
2)
−
1
2t2+
2t+1(
2＜t≤2
2)

1
2t2−3
2t+9(2
2＜t≤3
2)．
已知，如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1，0），B（0，-3），C（3，0 ）三点． 已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（5,0）、B（6,-6）和原点． 如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点,已知点A（-3,0） 如图，已知直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点． 已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（5,0）、B（6,-6）和原点． （1）求抛物线的函数关系式； 已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）三点． 已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，-4），B（-1、0），C（-2，5）三点． 已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为2，且经过点（3，0），则a+b+c的值（　　） 已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点,直线l是抛物线的对称轴． 已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点,直线l是抛物线的对称轴．在线等速度 如图,已知抛物线y = ax2 + bx+c过点C（0,-3）,与x轴交于A、B两点,经过A、B、C三点的圆的圆心M（1 已知抛物线y=ax2+bx+c经过O（0,0）,A（4,0）,B（3,3）三点.