已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点x=1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 05:59:17

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，曲线y=f（x）在点x=1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为

（1）由f（x）=x³+ax²+bx+c，得f′（x）=3x²+2ax+b，
当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0．①
当x=
2
3时，y=f（x）有极值，则f′（
2
3）=0，即4a+3b+4=0②
联立①②解得a=2，b=-4．
设切线l的方程为y=3x+m，
由原点到切线l的距离为

10
10，
则=
|m|

32+1=

10
10
解得m=±1．
∵切线l不过第四象限，∴m=1，
由于切点的横坐标为x=1，∴f（1）=4，
∴1+a+b+c=4，∴c=5．
故a=2，b=-4，c=5．
（2）由（1）可得f（x）=x³+2x²-4x+5，
∴f′（x）=3x²+4x-4．
令f′（x）=0，得x=-2，x=
2
3．
当x变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下表：
x [-3，-2） -2 （-2，
2
3）
2
3 （
2
3，1]
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑∴f（x）在x=-2处取得极大值f（-2）=13，
在x=
2
3处取得极小值f（
2
3）=
95
27．
又f（-3）=8，f（1）=4，
∴f（x）在[-3，1]上的最大值为13，最小值为
95
27．