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已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2,若当x∈[1,3]时,n≤f(x)≤m恒成立,则m-n的最

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/13 10:30:51
已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2,若当x∈[1,3]时,n≤f(x)≤m恒成立,则m-n的最小值为______.
∵当x<0时,f(x)=x2+3x+2,,
∴当x∈[-1,-3]时,在[-3,-
3
2]上,函数为减函数,在[-
3
2,-1]上为增函数
可得f(x)在[-1,-3]上的最小值为f(-
3
2)=(−
3
2) 2 −
3
2•3+2=−
1
4
最大值为f(-3)=(-3)2-3×3+2=2
∴当x∈[-1,-3]时,−
1
4≤f(x)≤2
又∵y=f(x)是奇函数,
∴当1≤x≤3,时-f(x)=f(-x)∈[−
1
4,2]
即−2≤f(x)≤
1
4
∵当x∈[1,3]时,n≤f(x)≤m恒成立
∴区间[-2,
1
4]⊆[n,m]⇒m-n≥
1
4−(−2)=
9
4
故答案为:
9
4