己知,O,G,H分别为△abc的外心,重心,垂心,求证:O,G,H三点共线,且GH=2OG

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/23 18:57:41

用平面向量的方法来证明,设O（0,0）,A（x1,y1）,B（x2,y2）,C（x3,0）,G（（x1+x2+x3）/3,（y1+y2）/3）,点H坐标为（x0,y0）,
所需求证的命题转化为：向量OH与向量OG共线,其充要条件为
x0*(y1+y2)=y0*(x1+x2+x3) -------------------------------------①,
由于O为外心,故有x1*x1+y1*y1=x2*x2+y2*y2=x3*x3
故有(x2-x1)*(x2+x1)=(y2-y1)*(y2+y1),
代入①式化简得：（x1+x2）*(x0*(x2-x1)+y0*(y2-y1))=x3*y0*(y1-y2)----④
由AH垂直于BC,BH垂直于AC,数量积分别为0,得方程组：
（x0-x1）*(x3-x2)+(y0-y1)*(-y2)=0,-------------------------②
（x0-x2）*(x3-x1)+(y0-y2)*(-y1)=0,-------------------------③
③-②得：x0*(x2-x1)+y0*(y2-y1)=x3*(x2-x1)
带入④式化简得：x3*y0*(y1-y2）=x3*（x2-x1）*(x2+x1)
问题转化为证明y0=y1+y2

如图,在三角形ABC中,H为垂心,G为重心,O为外心.求证：H,G,O三点共线,且HG=2GO 设三角形ABC的外心为O,垂心为H,重心为G,求证:O,G,H三点共线关于欧拉定理的问题设O、G、H分别是三角形ABC的外心,重心和垂心,则1.O、G、H三点共线,2.OG=1/3 OH.如点O是平行四边形ABCD的重心,过O作EG垂直FH.分别交平行四边形ABCD个边于E,F,G,H,求证OE=OG 设△ABC的外心为O,若存在一点H,使得向量OA+OB+OC=OH,求证:点H是△ABC的重心三角形ABC的外心为O,重心为H,求证,向量OH=OA+OB+OC 三角形ABC中,O是外心,BD为外接圆直径,H为重心.求证：向量OH=OA+OB+OC 已知在△ABC中,AD,BE,CF分别是三个内角的平分线且交与点O,又OG⊥BC,垂足为G,求证：∠BOD=∠GOC △ABC中,AD、BE、CF分别是三个内角的平分线,且相交于点O又OG⊥BC,垂足为G,求证：角BOD=角GOC 已知三角形ABC,AB=AC=5,BC=6,O是三角形ABC的外心,G是三角形的重心,求OG的长急.已知三角形ABC,AB=AC=5,BC=6,O是三角形ABC的外心,G是三角形的重心,求AO、OG的长在四边形ABCD中,AC与BD交于O,且AC=BD;E.F分别为AB;CD的中点;EF交AC;BD于H;G 求证:OG=