（2010•徐州二模）如图，已知抛物线M：x2=4py（p＞0）的准线为l，N为l上的一个动点，过点N作抛物线M的两条切

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/08 12:11:02

（2010•徐州二模）如图，已知抛物线M：x²=4py（p＞0）的准线为l，N为l上的一个动点，过点N作抛物线M的两条切线，切点分别为A，B，再分别过A，B两点作l的垂线，垂足分别为C，D．
（1）求证：直线AB必经过y轴上的一个定点Q，并写出点Q的坐标；
（2）若△ACN，△BDN，△ANB的面积依次构成等差数列，求此时点N的坐标．

（1）因为抛物线的准线l的方程为y=-p，所以可设点N，A，B的坐标分别为（m，-p），（x₁，y₁），（x₂，y₂），则x₁²=4py₁，x₂²=4py₂，由x²=4py，得y＝
x2
4p，求导数得y′＝
x
2p，于是
y1+p
x1−m＝
x1
2p，即

x21
4p+p
x1−m＝
x1
2p，
化简得x₁²-2mx₁-4p²=0，
同理可得x₂²-2mx₂-4p²=0，
所以x₁和x₂是关于x的方程x²-2mx-4p²=0
两个实数根，所以x1，2＝m±
m2+4p2，且x₁x₂=-4p²．
在直线AB的方程y−y1＝
y2−y1
x2−x1(x−x1)中，
令x=0，
得y＝y1−
y2−y1
x2−x1x1＝
x2y1−x1y2
x2−x1═
x1x2(x1−x2)
4p(x2−x1)＝−
x1x2
4p＝p为定值，
所以直线AB必经过y轴

（2010•宁波二模）已知抛物线C：x2=2py，过点A（0，4）的直线l交抛物线C于M，N两点，且OM⊥ON．如图，设抛物线方程为x2=2py（p＞0），M为直线l：y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A、B．已知点P是抛物线x2=4y上的一个动点，则点P到点M（2，0）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（　　）已知l为抛物线y2=2px(p>0)的准线,AB为过焦点F的弦,M为AB中点,过M做直线L的垂线,垂足为N交抛物线与点P （2013•宁波二模）如图，设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过准线l上一点M（-1，0）且斜率为如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于M点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点．（2012•东城区二模）已知抛物线C：x2=4y，M为直线l：y=-1上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，如图,过抛物线Y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线相交于M,N两点,自M.N向准线L作垂线,垂足分别为M1,N1 已知抛物线x＾2=2py(p＞0),过动点M(0,a),且斜率为1的直线L与该抛物线交于不同两点A,B,｜AB｜≤2p （2011•广州一模）设M，N为抛物线C：y=x2上的两个动点，过M，N分别作抛物线C的切线l1，l2，与x轴分别交于A 已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线为L，过点M（1，0）且斜率为3 已知抛物线C:y^2=2px（p＞0）的焦点为F,其准线为l,P(1/2,m)是抛物线C上的一点,点P到直线l的距离等于