（2011•广州一模）设M，N为抛物线C：y=x2上的两个动点，过M，N分别作抛物线C的切线l1，l2，与x轴分别交于A

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/21 16:49:14

（2011•广州一模）设M，N为抛物线C：y=x²上的两个动点，过M，N分别作抛物线C的切线l₁，l₂，与x轴分别交于A，B两点，且l₁∩l₂=P，若|AB|=1，
（1）若|AB|=1，求点P的轨迹方程
（2）当A，B所在直线满足什么条件时，P的轨迹为一条直线？（请千万不要证明你的结论）
（3）在满足（1）的条件下，求证：△MNP的面积为一个定值，并求出这个定值．

（1）设P（x，y），M（x₁，x₁²），N（x₂，x₂²），切线的斜率 k=2x．
∴l₁的方程为 y-x₁²=2x₁（x-x₁），即 y=2x₁x-x₁² ①，
同理，l₂ 的方程为 y=2x₂ x-x₂² ②，令 y=0 可求出 A（
x1
2，0），B（
x2
2，0）．
∵|AB|=1，所以，|x₁-x₂|=2，∴|x₁+x₂|²-4x₁x₂=4，
由①，②，得 x=
x1+x2
2，y=x₁x₂，故点P（
x1+x2
2，x₁x₂）．
∴y=x²-1，
（2）当 A，B 所在直线过 C：y=x² 的焦点．
（3）设 MN：y=kx+b 又由 y=x² 得 x²-kx-b=0，所以，x₁+x₂=k，x₁x₂=-b，
∴P到MN的距离为 d=
|k
x1+x2
2−x1x2+b|

1+k2=，MN=
1+K2|x₁-x₂|，
∴S=
1
2MN•d=
1
4（|x₁+x₂|²-4x₁x₂|）•|x₁-x₂|=2，为定值．

（2011•广州一模）设M，N为抛物线C：y=x2上的两个动点，过M，N分别作抛物线C的切线l1，l2，与x轴分别交于A 过定点P（1，4）作直线交抛物线C：y=2x2于A、B两点，过A、B分别作抛物线C的切线交于点M，则点M的轨迹方程为__ 已知抛物线X2=4Y,A,B为过焦点F的动直线与抛物线上的两交点,过A,B两点分别作抛物线的切线,设其焦点为M 已知抛物线C：x^2=4y的焦点为F,经过点F的直线l交抛物线于A、B两点,过A、B两点分别作抛物线的切线,设两切线的交如图,抛物线y=-x2+2x+c与x轴交于A,B两点,它的对称轴与x轴交于点N,过顶点M作M E 已知抛物线C:x^2=2y的焦点为F,过F做直线AB交C与A,B两点,过A,B分别作C的切线L1,L2 顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线C过点P(4,4),过该抛物线焦点F大大的直线交抛物线于A、B两点,点M、N分别为A、B 直线过抛物线C:x^2=2py(p>0)的焦点F与抛物线C交于A,B两点,过线段AB的中点M作x轴的垂线交抛物线于N点, 已知点f是抛物线C：x2=y的焦点,点p（m,n）是抛物线下方的任意一点,过点p作抛物线的两条切线,切点为a, 已知点E(m,n)为抛物线y^2=2px(p>0)内一定点,过E作斜率分别为k1,k2的两条直线交抛物线于A,B,C,D y=x2的焦点为F,动点p在直线 x-y-2=0上运动,过点p作抛物线的两条切线PA,PB,且与抛物线分别相切于A,B两一道圆锥曲线的题已知抛物线C：y=(1/4)x^2的准线为l,过l上任意一点M做抛物线C的两条切线l1,l2,切点分别为