已知函数ƒ(x)对一切x, y∈R, 都有 ƒ(x)+ƒ(y)= ƒ(xy),求证: ƒ(x)为偶函数。
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/11 20:28:38
已知函数ƒ(x)对一切x, y∈R, 都有 ƒ(x)+ƒ(y)= ƒ(xy),求证:
ƒ(x)为偶函数。
已知函数ƒ(x)对一切x, y∈R, 都有 ƒ(x)+ƒ(y)= ƒ(xy),求证: ƒ(x)为偶函数。
解题思路: 同学你好,本题合理赋值求解,具体过程见解析
解题过程:
解:∵对于任意的x,y∈R且x,y≠0满足f(xy)=f(x)+f(y),
∴令x=y=1,得到:f(1)=f(1)+f(1),
∴f(1)=0,
令x=y=-1,得到:f(1)=f(-1)+f(-1),
∴f(-1)=0;
由题意可知,令y=-1,得f(-x)=f(x)+f(-1),
∵f(-1)=0,∴f(-x)=f(x),
∴y=f(x)为偶函数;
解题过程:
解:∵对于任意的x,y∈R且x,y≠0满足f(xy)=f(x)+f(y),
∴令x=y=1,得到:f(1)=f(1)+f(1),
∴f(1)=0,
令x=y=-1,得到:f(1)=f(-1)+f(-1),
∴f(-1)=0;
由题意可知,令y=-1,得f(-x)=f(x)+f(-1),
∵f(-1)=0,∴f(-x)=f(x),
∴y=f(x)为偶函数;
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已知函数对一切x.y都有f(x+y)=f(x)+f(y)
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