作业帮已知抛物线x2=2py(p>0)的准线与圆x^2+(y-3)^2=16相切
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/18 10:49:17
已知抛物线x2=2py(p>0)的准线与圆x^2+(y-3)^2=16相切
已知抛物线x^2=2py（p>0）的准线与圆x^2+（y-3）^2=16相切
（1）求抛物线方程
（2）过抛物线的焦点F,作直线l与抛物线交于A、B两点,若在直线y=t（t＜0）上总存在点P便得△PAB为正三角形,求实数t的取值范围
已知抛物线x^2=2py（p>0）的准线与圆x^2+（y-3）^2=16相切
（1）求抛物线方程
（2）过抛物线的焦点F,作直线l与抛物线交于A、B两点,若在直线y=t（t＜0）上总存在点P便得△PAB为正三角形,求实数t的取值范围
(1)抛物线x^2=2py（p>0）的准线:y=-p/2与圆x^2+（y-3）^2=16相切,
所以p/2+3=4,p=2,
所以抛物线的方程是x^2=4y.①
(2)F(0,1),设l:y=kx+1,②
代入①,x^2-4kx-4=0,
△=16k^2+16,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则|AB|=√[△(1+k^2)]=4(k^2+1),
x1+x2=4k,
AB的中点Q:x=(x1+x2)/2=2k,
由②,y=2k^2+1,即Q(2k,2k^2+1),
AB的中垂线:y-(2k^2+1)=-(x-2k)/k交直线y=t于P(2k^3+3k-2kt,t),
△PAB是正三角形,
PQ^2=(3/4)AB^2,
(2k^3+k-kt)^2+(2k^2+1-t)^2=(3/4)*16(k^2+1)^2,
(2k^2+1-t)^2=12(k^2+1),t=1,则k^2=u^2-1,
t=2u^2-2√3u-1=2(u-√3/2)^2-5/2是u的增函数,u=1时t=1-2√3,
所以t的取值范围是[1-2√3,0）.
所以p/2+3=4,p=2,
所以抛物线的方程是x^2=4y.①
(2)F(0,1),设l:y=kx+1,②
代入①,x^2-4kx-4=0,
△=16k^2+16,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则|AB|=√[△(1+k^2)]=4(k^2+1),
x1+x2=4k,
AB的中点Q:x=(x1+x2)/2=2k,
由②,y=2k^2+1,即Q(2k,2k^2+1),
AB的中垂线:y-(2k^2+1)=-(x-2k)/k交直线y=t于P(2k^3+3k-2kt,t),
△PAB是正三角形,
PQ^2=(3/4)AB^2,
(2k^3+k-kt)^2+(2k^2+1-t)^2=(3/4)*16(k^2+1)^2,
(2k^2+1-t)^2=12(k^2+1),t=1,则k^2=u^2-1,
t=2u^2-2√3u-1=2(u-√3/2)^2-5/2是u的增函数,u=1时t=1-2√3,
所以t的取值范围是[1-2√3,0）.
已知抛物线x2=2py(p>0)的准线与圆x^2+(y-3)^2=16相切
已知抛物线x^2=2py(p>0)的准线与圆x^2+y^2-4y-5=0相切,则抛物线的方程为
已知抛物线C：x2=2py（p＞0）与直线y=x-1相切，且知点F（0，1）和直线l：y=-1，若动点P在抛物线C上（除
已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,直线yx与抛物线C相交于O(原点)及M,射
已知圆x2+y2-6x-7=0与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，则此抛物线的焦点坐标是______．
已知圆X^2+Y^2+6X-7=0与抛物线Y^2=2ax的准线相切,求实数a的值
已知圆x^2+y^2+6x-7=0与抛物线x^2=2ay的准线相切,求实数a的值
已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x-3）2+y2=16相切，则p的值为______．
已知抛物线C：y^2=2px(p>0)的准线为l,焦点为F.圆M的圆心在x轴的正半轴上,且与y轴相切,
已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点M(x,2)到其焦点F的距离为3 (1)求抛物线C的方程?
已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F在直线l：x-y+1=0上
已知抛物线C y2=2px(p>0)的准线为L,焦点为F 圆M的圆心在X轴的正半轴上且与y轴相切