作业帮在三棱锥P-ABC中,若三条侧棱两两垂直,则P点在底面的投影为三角形ABC的重心.为什么?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/13 14:46:47
在三棱锥P-ABC中,若三条侧棱两两垂直,则P点在底面的投影为三角形ABC的重心.为什么?
是垂心吧.垂心是三角形三条高的交点.
证明如下：如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥PC⊥PB,我们设点P在面ABC上的射影为P1.于是就有
PP1⊥面ABC,∵BA∈面ABC,∴PP1⊥BA,∵PA,PB∈面PAB,∴PC⊥面PAB,AB∈面PAB,
∴PC⊥AB,∵PP1,PC∈面PCE,∴AB⊥面PCE,CE∈面PCE,∴AB⊥CE.
∵BC∈面ABC,∴PP1⊥BC,∵PC,PB∈面PCB,∴PA⊥面PCB,BC∈面PCB,
∴PA⊥BC,∵PP1,PA∈面PAD,∴BC⊥面PAD,AD∈面PAD,∴BC⊥AD.
所以在三角形ABC中,AD,CE是两条高,故其交点P1是三角形ABC的垂心.
证明如下：如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥PC⊥PB,我们设点P在面ABC上的射影为P1.于是就有
PP1⊥面ABC,∵BA∈面ABC,∴PP1⊥BA,∵PA,PB∈面PAB,∴PC⊥面PAB,AB∈面PAB,
∴PC⊥AB,∵PP1,PC∈面PCE,∴AB⊥面PCE,CE∈面PCE,∴AB⊥CE.
∵BC∈面ABC,∴PP1⊥BC,∵PC,PB∈面PCB,∴PA⊥面PCB,BC∈面PCB,
∴PA⊥BC,∵PP1,PA∈面PAD,∴BC⊥面PAD,AD∈面PAD,∴BC⊥AD.
所以在三角形ABC中,AD,CE是两条高,故其交点P1是三角形ABC的垂心.
在三棱锥P-ABC中,若三条侧棱两两垂直,则P点在底面的投影为三角形ABC的重心.为什么?
若三棱锥P-ABC的三个侧面两两垂直,则证明P在底面的投影为△ABC的垂心
已知在三棱锥p-ABC中,定点p在底面ABC内的射影为三角形ABC的垂心”
三棱锥P-ABC中,顶点P在底面ABC上的射影为O. （A）重心 （B）外心 （C）内心 （D) 垂心
在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a，则点P到平面ABC的距离为______．
在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a，则点P到平面ABC的距离为33
在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直，侧棱长为a，则点P到平面ABC的距离为（ ）
在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=3,底面ABC是边长为2的正三角形,则三棱锥体积为
在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC,试证：点P在平面ABC上的正投影O为三角形ABC的外心
已知在三棱锥S-ABC中,SA,SB,SC,两两互相垂直O点为底面三角形ABC的垂心,求证SO垂直平面ABC
P为三角形ABC所在平面外一点,PA,PB,PC两两垂直,则点P在平面三角形ABC内的投影是三角形ABC的什么心?
在三棱锥P-ABC中,已知底面ABC是以C为直角三角形,PC垂直ABC,AC=18,PC=6,BC=9,G是三角形PAB