线代证明题求解设A是n阶方阵,且满足R(E+A)+R(E-A)=n,试证：A满足A^2=E.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/12 09:43:43

线代证明题求解
设A是n阶方阵,且满足R(E+A)+R(E-A)=n,试证：A满足A^2=E.

Only_唯漪的证法我好像没有看懂的样子……果然代数都忘光了,
这里给出一种Jordan标准型的证法参考一下：
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∵R(E+A)+R(E-A)=n
∴不妨设R(E+A)>0,R(E-A)>0（否则有R(E-A)=0或者R(E+A)=0,说明A=E或-E,命题已经成立）
∴|E+A|=|E-A|=0（∵其秩非满）
∴A有特征值-1、1
而n-R(E+A)恰好是特征值-1对应的特征向量维数、n-R(E-A)恰好是1对应的特征向量维数
A的特征向量维数和=n（计重数）
∴A的Jordan标准型就是一块为-1（R(E-A)阶）,一块为1（R (E+A)阶）
即存在可逆矩阵P,使得P-1AP=J
计算一下上式平方,就有A^2=E

线代证明题求解设A是n阶方阵,且满足R(E+A)+R(E-A)=n,试证：A满足A^2=E. 设n阶方阵A满足A^2=E,证明r(A-E)=n-r(A+E) 设n阶方阵A满足:A^2+2A-3E=0,证明:R(A+3E)+R(A-E)=n 设n方阵A满足A^2=A,E为n阶单位矩阵,证明R(A)+R(A-E)=n 线性代数：设A是n阶矩阵,满足A^2=A.证明：r(A)+r(A-E)=n 线性代数证明题!如果n阶实方阵满足A^2-3A+2E=0,则R(A-E)+R(A-2E)=n 设A是N阶矩阵,且满足A的平方=E,证明r（A-E）+r（A+E）=n 设A是n阶矩阵,满足A^2-A-2E=o,证明r(A-2E)r(A+E)=n 设A为n阶方阵,且A*A=A,证明R(A)+R(A-E)=n. 线性代数设n阶方阵A满足A^2=E,|A+E |≠0,证明A=E 设n阶方阵A满足A*A-A-2E=0,证明A和E-A可逆设n阶矩阵A满足A^2=A,且r(A)=r,则|2E-A|=