已知函数f(x)=(ax2-2x+1)•e-x(a∈R,e为自然对数的底数).
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/09 20:05:30
已知函数f(x)=(ax2-2x+1)•e-x(a∈R,e为自然对数的底数).
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)若函数f(x)在[-1,1]上单调递减,求a的取值范围.
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)若函数f(x)在[-1,1]上单调递减,求a的取值范围.
( I)当a=1时,f(x)=(x2-2x+1)•e-x,
f'(x)=(2x-2)•e-x-(x2-2x+1)•e-x=-(x-1)(x-3)•e-x…(2分)
当x变化时,f(x),f'(x)的变化情况如下表:
x (-∞,1) 1 (1,3) 3 (3,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) 递减 极小值 递增 极大值 递减所以,当a=1时,函数f(x)的极小值为f(1)=0,极大值为f(3)=4e-3.…(5分)
( II)f'(x)=(2ax-2)•e-x-(ax2-2x+1)•e-x=-e-x[ax2-2ax-2x+3]
令g(x)=ax2-2(a+1)x+3
①若a=0,则g(x)=-2x+3,在(-1,1)内,g(x)>0,
即f'(x)<0,函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减.…(7分)
②若a>0,则g(x)=ax2-2(a+1)x+3,其图象是开口向上的抛物线,对称轴为x=
a+1
a>1,
当且仅当g(1)≥0,即0<a≤1时,在(-1,1)内g(x)>0,f'(x)<0,
函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减.…(9分)
③若a<0,则g(x)=ax2-2(a+1)x+3,其图象是开口向下的抛物线,
当且仅当
g(−1)≥0
g(1)≥0,即−
5
3≤a<0时,在(-1,1)内g(x)>0,f'(x)<0,
函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减.…(11分)
综上所述,函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减时,a的取值范围是−
5
3≤a≤1.…(12分)
f'(x)=(2x-2)•e-x-(x2-2x+1)•e-x=-(x-1)(x-3)•e-x…(2分)
当x变化时,f(x),f'(x)的变化情况如下表:
x (-∞,1) 1 (1,3) 3 (3,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) 递减 极小值 递增 极大值 递减所以,当a=1时,函数f(x)的极小值为f(1)=0,极大值为f(3)=4e-3.…(5分)
( II)f'(x)=(2ax-2)•e-x-(ax2-2x+1)•e-x=-e-x[ax2-2ax-2x+3]
令g(x)=ax2-2(a+1)x+3
①若a=0,则g(x)=-2x+3,在(-1,1)内,g(x)>0,
即f'(x)<0,函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减.…(7分)
②若a>0,则g(x)=ax2-2(a+1)x+3,其图象是开口向上的抛物线,对称轴为x=
a+1
a>1,
当且仅当g(1)≥0,即0<a≤1时,在(-1,1)内g(x)>0,f'(x)<0,
函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减.…(9分)
③若a<0,则g(x)=ax2-2(a+1)x+3,其图象是开口向下的抛物线,
当且仅当
g(−1)≥0
g(1)≥0,即−
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3≤a<0时,在(-1,1)内g(x)>0,f'(x)<0,
函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减.…(11分)
综上所述,函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减时,a的取值范围是−
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3≤a≤1.…(12分)
已知函数f(x)=(ax2-2x+1)•e-x(a∈R,e为自然对数的底数).
(2014•漳州二模)已知函数f(x)=(ax2+x-1)ex,其中e是自然对数的底数,a∈R.
已知函数f(x)=x-1+aex(a∈R,e为自然对数的底数).
已知函数f(x)=(ax2+x)e^x,其中e是自然对数的底数,a∈R
已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)e-x(x∈R,e为自然对数的底数).
设函数f(x)=e^x+x-a(a∈R,e为自然对数的底数)
已知a属于R,函数f(x)=a/x+lnx-1,g(x)=(lnx-1)e^x+x(其中e为自然对数的底数)
已知a属于R,函数f(x)=(-x^2+ax)e^x (x属于R,e为自然对数的底数)
已知函数f(x)=(ax2+x-1)ex,其中e是自然对数的底数,a∈R. 若a=-1存在k∈R使得方程f(x)=k有3
已知函数f(x)=(2x+a)*e^x(e为自然对数的底数)
(2014•四川)已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.
已知函数f(x)=(ax2+x-1)ex,其中e是自然对数的底数,a∈R. (1)若a=1,求曲线f(x)在点(1,f(