已知f(x)=x+1/(x-1).证明:在曲线y=f(x)上任意一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/10 11:45:00
已知f(x)=x+1/(x-1).证明:在曲线y=f(x)上任意一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值
f'(x)=1-1/(x-1)².
设x=t点处的切线为y=f'(t)(x-t)+f(t)
即y=[1-1/(t-1)²](x-t)+t+1/(t-1)=x-x/(t-1)²+t/(t-1)²+1/(t-1)
它与x=1的交点:将x=1代入有
y=1-1/(t-1)²+t/(t-1)²+1/(t-1)=1+(-1+t+t-1)/(t-1)²=1+(2t-2)/(t-1)²=1+2/(t-1),
即交点在(1,1+2/(t-1)),
它与y=x的交点:将y=x代入有x=x-x/(t-1)²+t/(t-1)²+1/(t-1)有x=(t-1)²[t/(t-1)²+1/(t-1)]=t+t-1=2t-1,
交点在(2t-1,2t-1),
y=x与x=1的交点在(1,1),
所以该三角形的面积S=1/2×|[1+2/(t-1)-1]×[2t-1-1]|=1/2×|2/(t-1) ×2(t-1)|=2为定值.
设x=t点处的切线为y=f'(t)(x-t)+f(t)
即y=[1-1/(t-1)²](x-t)+t+1/(t-1)=x-x/(t-1)²+t/(t-1)²+1/(t-1)
它与x=1的交点:将x=1代入有
y=1-1/(t-1)²+t/(t-1)²+1/(t-1)=1+(-1+t+t-1)/(t-1)²=1+(2t-2)/(t-1)²=1+2/(t-1),
即交点在(1,1+2/(t-1)),
它与y=x的交点:将y=x代入有x=x-x/(t-1)²+t/(t-1)²+1/(t-1)有x=(t-1)²[t/(t-1)²+1/(t-1)]=t+t-1=2t-1,
交点在(2t-1,2t-1),
y=x与x=1的交点在(1,1),
所以该三角形的面积S=1/2×|[1+2/(t-1)-1]×[2t-1-1]|=1/2×|2/(t-1) ×2(t-1)|=2为定值.
已知f(x)=x+1/(x-1).证明:在曲线y=f(x)上任意一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值
证明:曲线f(x)=1/X上一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并
(2)设直线l是曲线y=f(x)切线,证明直线l与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值
函数f(x)=x+1/(x-1)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围的三角形的面积为定值,并求出此定值.
问一道导数的数学题求证:曲线y=x-3/x上任意一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值
已知曲线f(x)=x*4在点P处的切线与直线2x+y-1=0垂直,则切线方程为?
已知曲线c:f(x)=1/3x^3+x^2+1.若当x>a时,过直线y=x上任意一点p均可以做出曲线c的三条切线,则实数
已知函数y=e^x,求函数的图像在点x=1出的切线l的方程,求由曲线y=f(x),直线l,x轴,y轴所围的封闭图形面积.
曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为
已知函数f(x)=k lnx +1/x ,若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线
求曲线y=x^2在点(1,1)处的切线与x轴,直线x=2所围三角形面积
已知函数f(x)=lnx+(3-x)/x,若曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与直线y=1-2x平行,求a值