已知动点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离大1个单位长度.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/13 05:03:38
已知动点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离大1个单位长度.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)过点F任意作互相垂直的两条直线l1,l2,分别交曲线C于点A、B和M、N,设线段AB、MN的中点分别为P、Q,求证:直线PQ恒过一个定点.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)过点F任意作互相垂直的两条直线l1,l2,分别交曲线C于点A、B和M、N,设线段AB、MN的中点分别为P、Q,求证:直线PQ恒过一个定点.
(1) 设动点M的坐标为(x,y),
由题意,∵动点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离大1个单位长度
∴
(x-1)2+y2=|x|+1
化简得y2=4x或y=0(x≤0),
所以点M的轨迹C的方程为y2=4x或y=0(x≤0).
(2)证明:设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则点P的坐标为(
x1+x2
2,
y1+y2
2).
由题意可设直线l1的方程为y=k(x-1)(k≠0),
由
y=k(x-1)
y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
△=(2k2+4)2-4k4=16k2+16>0,x1+x2=2+
4
k2,y1+y2=k(x1+x2-2)=
4
k.
所以点P的坐标为(1+
2
k2,
2
k).
由题知,直线l2的斜率为-
1
k,同理可得点的坐标为(1+2k2,-2k).
当k≠±1时,有1+
2
k2≠1+2k2,此时直线PQ的斜率kPQ=
k
1-k2.
所以,直线PQ的方程为y+2k=
k
1-k2(x-1-2k2),
整理得yk2+(x-3)k-y=0,于是,直线PQ恒过定点E(3,0);
当k=±1时,直线PQ的方程为x=3,也过点E(3,0).
综上所述,直线PQ恒过定点E(3,0).
由题意,∵动点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离大1个单位长度
∴
(x-1)2+y2=|x|+1
化简得y2=4x或y=0(x≤0),
所以点M的轨迹C的方程为y2=4x或y=0(x≤0).
(2)证明:设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则点P的坐标为(
x1+x2
2,
y1+y2
2).
由题意可设直线l1的方程为y=k(x-1)(k≠0),
由
y=k(x-1)
y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
△=(2k2+4)2-4k4=16k2+16>0,x1+x2=2+
4
k2,y1+y2=k(x1+x2-2)=
4
k.
所以点P的坐标为(1+
2
k2,
2
k).
由题知,直线l2的斜率为-
1
k,同理可得点的坐标为(1+2k2,-2k).
当k≠±1时,有1+
2
k2≠1+2k2,此时直线PQ的斜率kPQ=
k
1-k2.
所以,直线PQ的方程为y+2k=
k
1-k2(x-1-2k2),
整理得yk2+(x-3)k-y=0,于是,直线PQ恒过定点E(3,0);
当k=±1时,直线PQ的方程为x=3,也过点E(3,0).
综上所述,直线PQ恒过定点E(3,0).
已知动点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离大1个单位长度.
已知动点M到点F(1,0)的距离等于它到直线x=-1的距离
到点F(0,4)的距离比它到直线y=-5的距离小于1的动点M的轨迹方程为?
已知点M到点F(3,0)的距离比它到y轴的距离大3,求点M的轨迹方程,
点M到点F(0,4)的距离比它到直线l:y+3=0的距离大1,求点M满足的方程?
(2011•武汉模拟)已知动点M(x、y)到点F(4,0)的距离比到直线x+5=0的距离小1,则点M的轨迹方程为( )
一个动点到点F(0,-4)距离比到直线y-3=0的距离多1,则动点的轨迹方程为______.
已知动点P到点F(1,0)的距离与它到直线x=4的距离之比为1/2
1、动点M(X,Y)到点F(4,0)的距离比它到直线X+5=0的距离小1,则点M的轨迹方程是________.
已知曲线C上任意一点M到点F(0,1)的距离比它到直线L:y=-2的距离小1
已知动点M(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍..(Ⅰ
已知动点M到点F(1,0)的距离等于它到直线x=-1的距离.(1)求点M的轨迹C的方程.(2)过点F任意相互垂直的两条直