试说明,对于任意正整数n,2的n 4次方与2的n次方的差能被30整除.

应该是2^（n/4）-2^n吧?

2^(n+4)-2^n=2^n*2^4-2^n=2^n(2^4-1)=2^n(16-1)=15*2^n=3*5*2^n∴{2^(n+4)-2^n}÷3={3*5*2^n}÷3=5*2^n

当n=1时21-1＜（1+1）2，当n=2时，22-1=2＜（2+1）2，当n=3时，23-1=4＜（3+1）2，当n=4时24-1＜（4+1）2，当n=5时25-1＜（5+1）2，当n=6时&nbs

2^(n+4)-2^n=2^n*(2^4-1)=2^n*15=2*15*2^(n-1)=30*2^(n-1)因为n是正整数,所以,n-1>=0,所以,2^n+4-2^n必能被30整除

n(n+7)-(n-3)·(n-2)展开=n方+7n-n方+5n-6=12n-612能被6整除所以12n（n为自然数）均能被6整除所以12n-6能被6整除或继续展开12n-6=6（2n-1）能被6整除

3^(n+2)-2^(n+2)+3^n-2^n=3^n(3²+1)-2^n(2²+1)=3^n*10-2^n*5=10*[3^n-2^(n-1)]一定是10的倍数

不妨设这n个数为：a,a+1,a+2,…,a+(n-1),a>0将这n个数相加：na+(1+…+(n-1))=na+n*(n-1)/2=n*[a+(n-1)/2]要对任意的a,都有上式为8的倍数只要,

2^(n+4)-2^n=2^n(2^4-1)=(2^n)*15

[1125*10^(2n+1)+8]^2-[1125*10^(2n+1)-8]^2-[6*10^(n+2)]^2=16*2*1125*10^(2n+1)-36*10(2n+4)=4[8*1125*10

原式=(9n^2-1)-(9-n^2)=10n^2-10=10(n^2-1)当n=1时,原式=0,是10的倍数,当n是大于1的正整数时,原式就是10的(n^2-1)倍.所以对任意正整数n,原式都含有1

首先可求导证明:对x>0,ln(1+x)>x/(1+x).取x=1/k,得ln(k+1)-ln(k)=ln(1+1/k)>1/(k+1).对k=1,2,...,n-1求和即得ln(n)>1/2+1/3

原式=3^n(3^2-4*3+10)=3^n*7因为3^n*7可以被7整除所以[3^(n+2)-4*3^(n+1)+10*3^n]可以被7整除

2^(n+4)=2^n*2^4=16*2^n所以2^(n+4)-2^n=15*2^n=30*2^(n-1)所以必能被30整除

2^(n+4)=2^n*2^4=16*2^n所以2^(n+4)-2^n=15*2^n=30*2^(n-1)所以必能被30整除

n（n+7）-（n+3）（n-2）=n2+7n-（n2+n-6）=6n+6=6（n+1），∴当n为正整数时，6（n+1）总能被6整除．

n3+3n2+2n=n（n+1）（n+2），∵n、n+1、n+2是连续的三个正整数，（2分）∴其中必有一个是2的倍数、一个是3的倍数，（3分）∴n3+3n2+2n=n（n+1）（n+2）一定是6的倍数

证明：令f(x)=ln(1/2+1/x)-(1/x²-2/x-1),则f'(x)=1/(1/2+1/x)-(-2/x³+2/x²)=(x^4-x+1)/[x³(

（3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)=9n^2-1-(9-n^2)=9n^2-1-9+n^2=10n^2-10=10(n^2-1)是10的倍数.n=1时,（3n+1)(3n-1)-(3-n)

能.原式=n*2+5n-n*2+n+6=6n+6能被6整除

n(n+7)-(n-3)(n-2)=n^2+7n-n^2+5n-6=12n-6=6(2n-1)