设有向量组a1

证明:(a1+a2+2a3,a1+2a2+a3,2a1+a2+a3)=(a1,a2,a3)K其中K=112121211所以B组可由A组线性表示.又因为|K|=-4≠0,所以K可逆.所以(a1,a2,a

证明:考察“a4能否由a1,a2,a3表示出”若能,则向量组a1,a2,a3与a1,a2,a3,a4可以互相线性表示即两个向量组等价.而等价的向量组有相同的秩,所以R（a1,a2,a3,a4）＝R（a

(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)KK=111-1111-11求出K的逆即得.(a1,a2,a3)=(b1,b2,b3)K^-1由于K^-1=1/2-1/201/20-1/201/21/2所以

假设存在一组实数k1，…，kr，使得k1b1+…+krbr=0，即  k1a1+k2（a1+a2）+…+kr（a1+…+ar）=（k1+…+kr）a1+（k2+…+kr）a2+…+

证明:因为(a1+a2,a2+a3,a3+a1)=(a1,a2,a3)KK=101110011而|K|=2≠0,即K可逆.所以r(a1+a2,a2+a3,a3+a1)=r[(a1,a2,a3)K]=r

4=b1+b3-b2(a1+a2+a3+a4-a2-a3=a1+a4)所以b1,b2,b3,b4线性相关(linearlydependent)

设k1b1+k2b2+k3b3=0,然后把b1=a1+a2+a3等都代进去,整理一下,证出k1,k2,k3都是0就可以了.

假设：a1＋a2、a2＋a3、a3＋a1是线性相关的,则：a3＋a1=m(a1＋a2)＋n(a2＋a3)(m－1)a1＋(m＋n)a2＋(n－1)a3=0因a1、a2、a3线性无关,则：m－1=0且m

(b1,b2,b3,b4)=r(a1,a1-a2,a1-a2-a3,a1-a2-a3-a4)=r(a1,-a2,-a2-a3,-a2-a3-a4)=r(a1,a2,a3,a4)=4,所以b1,b2,b

证明:由已知,(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)KK=111011001因为|K|=1≠0,所以K可逆所以r(b1,b2,b3)=r[(a1,a2,a3)K]=r(a1,a2,a3)=3所以b

证明:由已知,(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)KK=111011001因为|K|=1≠0,所以K可逆所以r(b1,b2,b3)=r[(a1,a2,a3)K]=r(a1,a2,a3)=3所以b

线性无关.反证法.假设mb1+nb2+rb3=0,则ma1+n(a1+a2)+r(a1+a2+a3)=0;则（m+n+r）a1+(n+r)a2+(r)a3=0,与向量组a1,a2,a3线性无关矛盾.故

这个结论基本上是显然的.只要注意到X1,X2,...,Xr的极大线性无关组和Y1,Y2,...,Ys的极大线性无关组合在一起,可以线性表出X1,X2,...,Xr以及Y1,Y2,...,Ys.因此向量

1*a1+0*a2+0*a3+（-1）*a1=0能找到一组不全为0的实数k1、k2、k3、k4使得k1*a1+k2*a2+k3*a3+k4*a1=0,故a1,a2,a3,a1线性相关

(a3,a2,a1,B)=--注意顺序,字母在后-1-2a1112b4510-1r1+r2,r3-4r20-1a+21+b112b012-1-4br1+r3,r2-r300a+4-3b1001+5b0

若a1,a2,a3线性相关,则向量组B:a1,a2,a3,a1+a2（线性相关,）

证明：∵四维∴向量组最多四个向量线性无关∴其中至少有3个向量能由其余向量线性表示

知识点:a1a2····am线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组(a1a2····am)X=0有非零解因为r(a1a2····am)

R(A)=3说明AX=0的基础解系含4-3=1个解向量A(a1-（a2+a3）/2)=Aa1-（Aa2+Aa3）/2=b-(b+b)/2=0所以a1-（a2+a3）/2是AX=0的解所以它就是基础解系