设m*r矩阵F是列满秩,r*n矩阵G是行满秩,证明秩(FG)=r,求大神速度解决-搜答案-智慧作业帮

(A)=5因为r(ATA)=r(A)证明如下：若ATAx=0则xTATAx=0则(Ax)TAx=0就是说Ax这个向量的内积是0从而这个向量是0即Ax=0这说明r(A)=r(ATA)综合上述两方面R(A

AB的列向量可由A的列向量线性表示所以r(AB)

依题意r(A)=r

正确因为B可逆所以RA(B)=R(A)=m.知识点:若P,Q可逆,则R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)

方法:证明齐次线性方程组AX=0(1)与A^TAX=0(2)同解即可显然(1)的解是(2)的解设X0是(2)的解,则A^TAX0=0所以X0^TA^TAX0=0所以(AX0)^T(AX0)=0所以AX

设一分块矩阵C上块为A下块为BCx=0的解就是Ax=0与Bx=0的公共解r(C)

提示：可逆矩阵可以看成若干初等矩阵的乘积.用等价矩阵秩相等去证.

任何一个可逆阵,可以写成若干个初等阵的积左(右)乘一个初等阵,相当于做一次初等行(列)变换所以一个可逆阵乘一个阵,相当于对矩阵做初等变换而初等变换不改变矩阵的秩所以命题成立

如果r(A)=n结合r(A)=n此外,又知道r(B)

因为R(A)=n那么取A中n行构成A的基CC的大小是n*n设R(B)=y同理取B的基DD的大小是n*y因为R(C*D)=R(D)=R(B);所以R(AB)=R(B);

题目有点小错误,B的阶数是mxr,否则不能随便乘取m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q使得A=PDQ,其中D=I_r000取B为P的前r列,C为Q的前r行即可.

这类问题可用证明齐次线性方程组同解的方法显然,AX=0的解都是A'AX=0的解.反之,若X1是A'AX=0的解则A'AX1=0所以X1'A'AX1=0故(AX1)'(AX1)=0所以有AX1=0即A'

=m,r=n,m=n,r再问：这是一道选择题，我想问分别当r=m,r=n,m=n,

设n-r（A）=s,n-r（B）=t,则s+t＞n,Ax=0有s组线性无关的解,设为a1,……,as而Bx=0有t组线性无关的解,设为b1,……,bt,由于s+t大于n,因此a1,……,as,b1,…

用一下相抵标准型就行了.存在阶数分别为m,r,r,n的可逆矩阵P1,Q1,P2,Q2,使得F=P1[I_r,0]Q1G=P2[I_r;0]Q2那么FG=P1[Q1P2,0;0,0]Q2这个不是最基本的

证:将B按列分块为B=(b1,...,bs)因为AB=0所以A(b1,...,bs)=(Ab1,...,Abs)=0所以Abi=0,i=1,...,s即B的列向量都是齐次线性方程组AX=0的解向量所以

证明:显然,Ax=0的解是CAx=0的解由已知r(A)=r(CA)所以Ax=0与CAx=0同解.又显然ABx=0的解是CABx=0的解反之.设x1是CABx=0的解则CABx1=0所以Bx1是CAx=

这个叫做矩阵的满秩分解,《矩阵论》上的定理.证明：A是m×n矩阵,R（A）＝r,则A一定能通过初等行列变换变成如下矩阵100...00010...00001...00...000...00就是左上角是

只能选B小于m再问：��ϸ��һ��лл再答：û��ϸ��ͣ��Ŀ�ǲ��걸�ģ�ֻ��ѡB��R(AB)n��Ϊ��m>nʱA��޹صģ�B��

由于P与Q可以写成有限个初等矩阵的乘积,例如设P=P1P2...Ps,Q=Q1Q2...Qt,所以B=PAQ=P1P2...PsAQ1Q2...Qt,而矩阵A左乘或者右乘初等矩阵相当于对矩阵A做了初等