设ABC分别为mn,ns,s*m矩阵,且r(CA)=r(A),证明r(CAB)=r(AB)

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 19:13:32

设ABC分别为m*n,n*s,s*m矩阵,且r(CA)=r(A),证明r(CAB)=r(AB)

证明:显然,Ax=0的解是CAx=0的解
由已知 r(A)=r(CA)
所以 Ax=0 与 CAx=0 同解.
又显然 ABx=0 的解是 CABx=0 的解
反之.设x1是CABx=0的解
则 CABx1=0
所以 Bx1 是 CAx=0 的解
故 Bx1 是 Ax=0 的解
故有 ABx1=0.
即 x1 是 ABx=0 的解
所以 ABx=0 与 CABx=0 同解.
所以 r(AB)=r(CAB).
再问： A,B都是方阵的时候， r(A)=r(B) 所以 Ax=0 与 Bx=0 同解.我同意可A,B不是方阵的时候，这个结论推不出啊
再答：什么意思? A,B都是方阵的时候， r(A)=r(B) 所以 Ax=0 与 Bx=0 同解. -- 没这结论呀! 是我说的?
再问：哦，漏了一句话， Ax=0 的解都是Bx=0 的解。这个结论A,B不是方阵的时候也成立么？
再答：这与是否方阵没关系! Ax=0 的解都是Bx=0 的解, r(A)=r(B) 这说明 Ax=0 的基础解系也是 Bx=0 的基础解系所以方程组同解. 与A,B是不是方阵有什么关系呢?

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