设A为n阶方阵,b为n维列向量,证明Ax=b
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 01:48:10
直接验证.a是单位列向量,所以aTa=1AT=ET-2(aaT)T=E-2aaT所以是对称阵.ATA=(E-2aaT)(E-2aaT)=E-2aaT-2aaT+4aaTaaT=E这说明A是正交阵.
右乘α得Aα=α-αα'α=α-α=0下面反证A为方阵,假设|A|≠0则A可逆即α=0;这明显与α‘α=1矛盾假设不成立故|A|=0
用反证法.假设A不可逆,则齐次线性方程组AX=0有非零解.而若x0是Ax=b的一组解,对AX=0的任意一个非零解x1,可知x0+x1也是Ax=b的解,即Ax=b不止一组解.于是Ax=b要么无解,要么不
因为(Aα1,Aα2,...,Aαn)=A(α1,α2,...,αn)当A可逆时,r(Aα1,Aα2,...,Aαn)=r(α1,α2,...,αn)=n.所以Aα1,Aα2,...,Aαn线性无关.
只有极大无关组(含r个向量)才能表示其余的向量任意r个列向量可能线性相关
1+xa≠0,可以知道aa'(a‘表示转置)也不会为0,而r(aa')<=r(a)<=1这说明aa‘的秩为1.这样aa'的特征值正好是n-1个0,有一个不
(C)正确其余3个选项都是说A可逆当A可逆时,对任一b,AX=b都有唯一解,与题意不符
A(x-y)=0,于是非零向量x-y是方程Ax=0的一个非零解.书上有定理,此时A必非奇异再问:什么定理。你能说说吗?再答:应该是奇异矩阵。在方阵的条件下,齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件
Ax=b有唯一解r(A)=nA可逆
设B=(β1,β2…βn)A=(α1,α2…αn)Q的第i列向量为(a1i,a2i,…,ani)由B=AQ可得B的第i列向量βi=α1*a1i+α2*a2i+…+αn*ani这就表明βi可以被αi线性
因为A为正交矩阵所以A^TA=E.所以[Aa1,Aa2]=(Aa1)^T(Aa2)=a1^TA^TAa2=a1^Ta2=[a1,a2]
这里,先给说一个结论,很好证的就是如果x是阵C的特征值,那么E+C的特征值为1+xa'b≠0,可以知道ab'也不会为0,而r(ab')
分三步:1.因为a为n维单位列向量,所以有a'a=1(记a'=aT)2.A'A=(E-2aa')(E-2aa')=E-4aa'+4aa'aa'=E-4aa'+4aa'=E3.||AB||=√(AB)'
AB^T的特征值为B^TA,0,0,...,0且由CA=AB^TA=(B^TA)A知A是C的属于特征值B^TA的特征向量.因为Q是正交矩阵所以B^Tqi=0所以Cqi=AB^Tqi=0所以q1,...
若|A|=0,则R(A)再问:为什么|A|=0,则R(A)
(1)考虑分块矩阵的行列式|H|=Aαβ^T-1第2行减第1行的β^TA,得Aα0-1-β^TA^-1α所以|H|=-(1+βTA^-1α)|A|.另一方面,|H|第1行加第2行的α倍,得A+αβ^T
证明:Ax=b有唯一解,那么r(A,b)=r(A)=n,而A为n阶矩阵,所以r(A)=n可以得到A可逆同理,n阶矩阵A可逆,那么r(A)=n,而增广矩阵r(A,b)显然此时等于r(A),所以r(A,b
我只说简单的步骤,你可以自己试着推一下.(1)n阶方阵可以化成上三角阵和一些初等矩阵的乘积.(2)证明初等矩阵的乘积的行列式等于他们各自行列式的乘积.(3)证明上三角阵和上三角阵的乘积的行列式等于他们
这是个定理或性质.它的证明比较繁琐,若学过Laplace展开还好一点.记住这个结论就行了,不必深究它的证明!
是等于0的.如果是填空选择,你可以举个例子,比如a=(1,1).详细的证明就不写的,你会发现A的每一行(列)都是成比例的,所以其对应的行列式为0