(1)A为n阶可逆方阵,α,β为n维列向量,求证：det(A+αβT)=(1+βTA-1α)det(A) (2)设A=(

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 00:56:41

(1)A为n阶可逆方阵,α,β为n维列向量,求证：det(A+αβT)=(1+βTA-1α)det(A) (2)设A=(aij)n×r满足rank(A)=r,求证：det(ATA)≠0

(1)考虑分块矩阵的行列式|H|=
A α
β^T -1
第2行减第1行的 β^TA,得
A α
0 -1-β^TA^-1α
所以 |H|= -(1+βTA^-1α)|A|.
另一方面,|H|第1行加第2行的α倍,得
A+αβ^T 0
β^T -1
所以 |H|=-|A+αβ^T|
所以 det(A+αβ^T)=(1+β^TA^-1α)det(A).
(2)
因为 r(A^TA)=r(A)=r
A^TA是r阶方阵
故 det(ATA)≠0.
再问：你第一问写的有点失误不过我还是看懂了，第二问r(ATA)=r(A)=r是为什么？这个应该是证明的关键吧
再答：哪里失误请告诉我 r(ATA)=r(A) 是一个知识点, 证明AX=0 与 A^TAX 同解即可得.
再问：第2行减第1行的 β^TA, 得应该是第2行减第1行的 βTA-1 ，得第二问我也记起来这么个东西了，谢谢啦
再答：哦哦, 漏逆符号了

(1)A为n阶可逆方阵,α,β为n维列向量,求证：det(A+αβT)=(1+βTA-1α)det(A) (2)设A=( 设A为n阶方阵,且A是可逆的,证明det(adjA)=(detA)的(n-1)次方 1.A、B均为n阶方阵,则必有A.det(A)det(B)=det(B)det(A) B.det(A+B)=det(A) 设A为3阶方阵,且行列式det(A)= 1/2 ,则det(-2A)= ( ) 设A为n阶方阵(n>1),k为常数,则行列式det(kA)=（） A是n阶矩阵,a是向量,求证det(aA)=a^n×det(A) 设A为n阶矩阵,证明 det（A*）=（detA)^n-1 设A为n阶方阵,detA=1/3,A*为A的伴随矩阵,求det[A*+(1/4A)逆]=? 几代：设α是n维列向量(n > 1),则n阶方阵A = ααT 的行列式|A|的值为? A是n阶可逆矩阵,证明：对任意n维列向量x和y,下述等式成立：x^(t)A^(-1)y=det(A+yx^(t))/de 设A为n阶方阵,证明：det(E-A*A)=0,则1或-1至少有一个是A的特征值. 设A*为N阶方阵A的伴随矩阵,证明是det(A)=o,则det(A*)=0.