若α1,α2,α3线性相关,但α1,α2线性无关,证明α3可被α1,α2唯一表出

证:由已知,α1,α2,α3,α4线性相关所以存在一组不全为0的数k1,k2,k3,k4,使得k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0.(下证k1,k2,k3,k4全不为0)假设k1=0.则k2α2

在线性无关和线性相关的定义中说的是一组不全为零的系数,所以你最后的问题说明你没有理解定义.至于题目的证法很简单：首先,若k1,k2,k3...kr全为零,则k1α1+k2α2+…+krαr=0显然成立

(1)k1a1+k2a2+...+krar=0任意一项移到方程右边k1a1+krar=kiai若ki=0因为其余r-1个线性无关所以其余系数都为0即全为0(2)任意r-1个向量都线性无关,则任意s(s

因为α2,α3,α4线性无关所以α2,α3线性无关又因为α1,α2,α3线性相关所以α1可表示为α2,α3的线性组合所以α1可表示为α2,α3,α4的线性组合

若向量α＝0,则存在非零的数k,使得kα=0,由线性相关的定义知道α线性相关,若向量α≠0,则对任意不为0的k,kα必不为0,故α线性无关.

知识点:n个n维向量线性无关的充要条件是任一n维向量都可由它线性表示所以,当存在向量α不能由β1,2,3线性表示时,它一定线性相关再问：那如果把题目中的3都改为4维是不是就不一定线性相关啦？再答：是的

α,β,δ线性相关,则存在k1k2k3不全为0,使得k1α+k2β+k3δ=0再多一个γ,令k4=0,k1α+k2β+k3δ+k4γ=0,k1k2k3k4不全为0,所以线性相关.或者从秩的角度,α,β

当α1=（6,a+1,3)＝kα2=k(a,2,-2)时线性相关即6＝kaa＋1＝2k3＝－2k以上三式成立即k＝－3／2a＝－4时相性相关a≠－4时线性无关

因为α1,α2,α3,α4线性无关所以α1,α2,α3线性无关,且α4不能由α1,α2,α3线性表示又因为α1,α2,α3,α5线性相关所以α5可由α1,α2,α3线性表示所以α4-α5不能由α1,α

因为(α1+α2)-(α2+α3)+(α3+α4)-(α1+α4)=0所以α1+α2,α2+α3,α3+α4,α1+α4线性相关.注:这与向量组α1,α2,α3,α4是否线性无关没关系

|1000|(a1)|0100|(a2)|0010|(a3)|1100|(a4)a4=a1+a2,所以线性相关但是a3无法用a1a2a4表示,也就是不满足任意一个向量都是其余向量的线性组合.

(1)能.由已知α2,...,αn线性无关所以α2,...,αn-1线性无关.[整体无关则部分无关]再由已知α1,α2,...,αn-1线性相关所以α1能由α2,α3,...,αn-1线性表示.[线性

见下图：再问：题目的选项只有m=n=1，m－n=1，m+n=1，m=n

由已知,α4与α1、α2线性相关,而α1、α2线性无关,所以存在实数k1、k2使α4=k1α1+k2α2,------------（1）同理,有α4=λ1α2+λ2α3,---------------

由于向量组α1,α2,…,αn线性无关,故k1α1+k2α2+...+knαn=0,则k1=k2=.=kn=0,又因为β,α1,α2,…,αn线性相关,有kβ+r1α1+r2α2+.+rnαn=0,且

不是的，只要存在一个ai可以由其他s-1个线性表出就可以了证明不难：因为向量组α1，α2，...αs线性相关的充要条件是存在a1,a2,……,as共s个非零的数属于给定的属于F，使得a1*α1+a2*

由已知,r(α1,α2,α3)

1.、A=[α1,α2,...,αn]的前n-1个列向量线性相关,后n-1个线性无关所以r(A)=n-1

拿0和一个非零的放到一起,线性相关,0可以写成非零的那个的线性组合,非零的那个不能写成0的线性组合

不能.反证.因为α2α3α4线性无关所以α2α3线性无关又因为α1α2α3线性相关所以α1可由α2α3线性表示假如α4能由α1α2α3线性表示则α4能由α2α3线性表示这与α2α3α4线性无关矛盾.