已知α1,α2线性无关,证明:α1,α2,α3,α4线性无关

证:由已知,α1,α2,α3,α4线性相关所以存在一组不全为0的数k1,k2,k3,k4,使得k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0.(下证k1,k2,k3,k4全不为0)假设k1=0.则k2α2

这个不要反证,直接证明就可以了.证明:设k1α1+k2(α1+α2)+k3(α1+α2+α3)=0.则（k1+k2+k3)α1+(k2+k3)α2+k3α3=0因为α1,α2,α3线性无关所以k1+k

假设α1+α2、α1-α2线性相关则存在不为0的常数b使得α1+α2=b（α1-α2）所以α1+α2=bα1-bα2因为α1,α2线性无关所以α1,α2的系数分别对应相等b=1,-b=1所以b不存在,

为了方便我用a代表alpha,b代表beta设有k0b+k1(b+a1)+k2(b+a2)+……+kr(b+ar)=0则有(k0+k1+k2……+kr)b+k1a1+k2a2+……+krar=0（2）

因为α2,α3,α4线性无关所以α2,α3线性无关又因为α1,α2,α3线性相关所以α1可表示为α2,α3的线性组合所以α1可表示为α2,α3,α4的线性组合

设有数k1,k2,k3满足等式：k1(ā1-ā2-ā3)+k2(,ā2-ā3)+k3ā3=0则有k1α1+(k2-k1)a2+(k3-k2)a3=0,由于向量组a1ā2ā3线性无关,所以有k1=0,k

必要性：α1,α2,…αn线性无关,对于任一n维向量X,设X=t1*α1+t2*α2,…+tn*αn那么它们组成的方程组的系数行列式不为0,,那么通过方程组的理论你可以知道方程组有解,且解唯一.充分性

只须证明它们能互相线性表示即可.显然a1+a1,a1-a2能用a1、a2线性表示；同时,a1=[(a1+a2)+(a1-a1)]/2,a2=[(a1+a2)-(a1-a2)]/2,所以a1+a2、a1

反证法b=k1α1+k2α2+...+krαr（1）=m1α1+m2α2+...+mrαr(2)(1)-(2)(k1-m1)α1+(k2-m2)α2+...+(kr-mr)αr=0=>k1=m1and

这个常规做法是设这个向量组的一个线性组合等于0推出组合系数都等于0也可以这样(α,α+β,α+β+γ)=(α,β,γ)KK=111011001因为|K|=1,K可逆所以r(α,α+β,α+β+γ)=r

极大线性无关组的定义：如果存在r个向量线性无关.任意的r+1个向量（若存在）线性相关.那么这r个向量是向量组的一个极大无关组.同时,称极大无关组中向量的个数（即r）为向量组的秩.根据定义,这句话显然.

本体有特殊性,可以写出从α到β的系数行列式,由于α是线性无关的,故只需要系数行列式不为零,β就无关,否则相关.再问：首先谢谢哈其次再问一下给的向量组是无关的那么系数行列式不等0β就无关那要是给的向量组

A=（α1,α2,α3）B=（α1+α3,α2+α3,α3）则B=AKK=100010111｜K｜=1,所以K可逆,从而A与B的秩相等因为α1,α2,α3线性无关,所以A的秩为3从而B的秩也为3,从而

因为α1,α2,α3,α4线性无关所以α1,α2,α3线性无关,且α4不能由α1,α2,α3线性表示又因为α1,α2,α3,α5线性相关所以α5可由α1,α2,α3线性表示所以α4-α5不能由α1,α

设b1=a1-a2-2a3,b2=a2-a3,b3=a3,因此b1、b2、b3可以用a1、a2、a3线性表出,而a3=b3,a2=(a2-a3)+a3=b2+b3,a1=(a1-a2-2a3)+(a2

以α1,α2,.,αm为列向量构成矩阵A,则Ax=β由于列满秩而有唯一解这个唯一解就是唯一的组合系数另外一种方法设有两组不同的系数c1,c2,...,cm,和c1‘,c2’,...,cm‘都可以组合成

证明:设k1(α1-αm)+k2(α2-αm)+…+km-1(αm-1-αm)=0.则k1α1+k2α2+…+km-1αm-1-(k1+k2+...+km-1)αm=0.由已知α1,α2,…αm线性无

反证假如α1+α2,α1-α2也线性相关则存在不全为0的k1k2使得k1（a1+a2）+k2（a1-a2）=0（k1+k2）a1+（k1-k2）a2=0因为k1k2不全为0,所以（k1+k2）和（k1

要证明α1+α2,α2+α3,α3+α1线性无关只需证明[α1+α2,α2+α3,α3+α1]的秩为3.这是我的一种证法,希望对你有帮助,祝学习愉快

直接用定义证明c_0ξ+c_1σ(ξ)+...+c_{m-1}σ^{m-1}(ξ)=0(*)对(*)两边作用V^{m-1}得c_0=0对(*)两边作用V^{m-2}得c_1=0...