如图,已知ab⊥bc,de⊥ef,ac=df,be=cf.求证:

观察图形中有两个“双垂直”三角形且AD是公共边,利用射影定理：AD^2=AE*ABAD^2=AF*AC所以AE*AB=AF*ACAE/AF=AC/AB

因为AC=AD,AB=AB,且三角形ABC和三角形ABD都是直角三角形,所以勾股定理,BC=BD,所以三角形ABC和三角形ABD全等,那么∠1＝∠2因为AC=AD,∠1=∠2,AE=AE,所以三角形A

连BE∵∠A=90DE⊥BC∠A=∠EDB=90∵∠A=90∴△ABE为RT△∵∠EDB=90∴△DBE为RT△在RT△ABE与RT△DBE中BE=BEAB=DB∴RT△ABE≌RT△DBE(HL)∴

（1）因为.DE垂直于AB于E,DF垂直于BC于F,所以.角DEB=角DFB=90度,因为.角EDF=60度,所以.角B=360度一90度一90度一60度=120度,因为.ABCD是平行四边形,所以.

①由中垂线定理可知角A=角B所以△ABC为等边三角形CD为中垂线由等边三角形性质知CD为角平分线②由①知角ACD=角BCD三角形CDE于三角形CDF全等所以DE=DF③由②知CE=CF而AC=BC所以

∵CD⊥AB∴∠BDC=90°即∠2+∠EDC=90°又DE⊥BC∴∠BED=90°∵∠BED是△CDE的外角∴∠BED=∠ECD+∠EDC=90°∴∠2=∠ECD∵∠1+∠2=90°∴∠1+∠ECD

证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠ADC=∠ADB=∠AED=∠AFD=90°，∴易知△ADB∽△AED和△ADC∽△AFD，∴AEAD=ADAB，AFAD=ADAC，∴AD2=AE•A

通过计算可以求出AD=6,AF=5,DB=7.然后通过余弦定理可以求出角的度数为cos^-11/5.

∵AB∥ED∴∠B＝∠DGC∵BC∥EF∴∠DGC＝∠E∴∠B＝∠E

证：延长EC到F得∠DCF∵AB//DC,∠D=∠DEC∴∠B=∠DCF=∠DEC+∠D=2∠DEC∵∠A=∠AEB又∵∠B+∠A+∠AEB=∠B+2∠AEB=2∠DEC+2∠AEB=180°∴∠DE

DE=AD+CE证明如下：∠ABD=90-∠A=90-∠CBE=∠C∠D=90=∠EAB=BC三角形ADB全等于三角形BECAD+CE=DB+BE=DE

DE=AD+CE理由：角ABD+角A=90°,角ABD+角CBE=90°所以角A=角CBE又因角D=角E=90°,及AB=BC所以三角形ADB全等于三角形BEC所以AD=BE,BD=CEDE=DB+B

证明：∵BC=CF，即BF=2BC，又∵AB=2BC，∴AB=BF，∴∠BAF=∠F，又∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF=∠F，∴∠BAF=∠DAF=12∠BAD，同理，∠A

证明：将AF与DE的交点设为O∵平行四边形ABCD∴CD＝AB,∠ABC+∠BCD＝180∵AB＝2BC∴CD＝2BC∵BC＝BE∴CE＝BC+BE＝2BC∴CE＝CD∴∠E＝∠CDE＝∠BCD/2∵

AB=18,所以AC=BC=9根号二因为AD是平分线,所以DE=CD,BD=DE*根号二,所以BC=CD+DE*根号二=CD*(1+根号二)=9根号二DE=CD=9根号二/(1+根号二)△DEB的周长

de//a

AD是BC的垂直平分线有AB＝AC,BD＝DC有∠ABC＝∠ACB,∠DBC＝∠DCB而∠DBE＝∠ABC＋∠DBC,∠DCF＝∠ACB＋∠DCB所以∠DBE＝∠DCF又BD＝DC,∠DEB＝∠DFC

AD是BC的有AB=AC,BD=DC有∠ABC=∠ACB,∠DBC=∠DCB而∠DBE=∠ABC+∠DBC,∠DCF=∠ACB+∠DCB所以∠DBE=∠DCF又BD=DC,∠DEB=∠DFC=90°所

证明：如图，∵AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠AED=∠B=∠C=90°，∴∠BAE=∠CED（同角的余角相等），∴在△ABE与△ECD中，∠B＝∠ECD∠BAE＝∠CEDAE＝ED，∴△AB