若不等式x2+2xy≤m(2x2+y2)对于一切正数x,y恒成立,则实数m的最小值为______.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/12 09:43:10
若不等式x2+2xy≤m(2x2+y2)对于一切正数x,y恒成立,则实数m的最小值为______.
由题意可得:不等式x2+2xy≤m(2x2+y2)对于一切正数x,y恒成立,
即不等式(2m-1)x2-2xy+my2≥0对于一切正数x,y恒成立,
即不等式(2m-1)(
x
y)2-2•
x
y+m≥0对于一切正数x,y恒成立,
设t=
x
y,则有t>0,
所以(2m-1)t2-2t+m≥0对于一切t∈(0,+∞)恒成立,
设f(t)=(2m-1)t2-2t+m,(t>0),
①m=
1
2时,显然不符合题意,故舍去.
②当m≠
1
2时,函数的对称轴为t0=
1
2m−1,
所以由题意可得:
2m−1>0
△=4−4(2m−1)m≤0,解得m≥1.
故答案为1.
即不等式(2m-1)x2-2xy+my2≥0对于一切正数x,y恒成立,
即不等式(2m-1)(
x
y)2-2•
x
y+m≥0对于一切正数x,y恒成立,
设t=
x
y,则有t>0,
所以(2m-1)t2-2t+m≥0对于一切t∈(0,+∞)恒成立,
设f(t)=(2m-1)t2-2t+m,(t>0),
①m=
1
2时,显然不符合题意,故舍去.
②当m≠
1
2时,函数的对称轴为t0=
1
2m−1,
所以由题意可得:
2m−1>0
△=4−4(2m−1)m≤0,解得m≥1.
故答案为1.
若不等式x2+2xy≤m(2x2+y2)对于一切正数x,y恒成立,则实数m的最小值为______.
若不等式a(2x2+y2)≥x2+2xy对任意非零实数x,y恒成立,则实数a的最小值为______.
若满足x2+y2+2y=0的实数x,y,使不等式x+y+m≥0恒成立,则实数m的取值范围是______.
已知x、y是实数且满足x2+xy+y2-2=0,设M=x2-xy+y2,则M的取值范围是______.
已知,x和y是任意实数,M是代数式x2+2xy+y2,x2-2xy+y2,x2+4x+4中的最大值,求M的最小值
不等式x2+|2x-6|≥a对于一切实数x都成立.则实数a的最大值为______.
设x,y为实数,代数式5x2+4y2-8xy+2x+4的最小值为______.
若不等式x+2根号下xy小于等于a(x+y)对一切正数xy恒成立,则正数a最小值为?
若不等式(m2-1)x2-2(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立,则实数m的取值范围是
若实数x,y满足|xy|=1,则x2+4y2的最小值为______.
若已知不等式2x-1>m(x2-1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立,则x的取值范围为 .
若不等式x2+2x+a≥-y2-2y对任意实数x、y都成立,则实数a的取值范围是______.