作业帮证明logx的导数为1/(xlna),lnx导数为1/x.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/11 04:55:55
证明logx的导数为1/(xlna),lnx导数为1/x.
△y＝f(x+△x)－f(x)
⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x
⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x
因为当⊿x→0时,⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞,所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)＝logae,所以有
lim⊿x→0⊿y/⊿x＝logae/x.
当a=a时有⊿y/⊿x＝loge/x=lne/lna/x=1/(xlna)
当a=e时有dy/dx=1/x
]
再问： 打字有点小错误，loga[(1+⊿x/x)^x]/x 应写为loga[(1+⊿x/x)^x]1/x 。下面的相应改上。回答很好！我看了有些人的解答，有涉及等价无穷小代换，你这证法很好。
⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x
⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x
因为当⊿x→0时,⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞,所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)＝logae,所以有
lim⊿x→0⊿y/⊿x＝logae/x.
当a=a时有⊿y/⊿x＝loge/x=lne/lna/x=1/(xlna)
当a=e时有dy/dx=1/x
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再问： 打字有点小错误，loga[(1+⊿x/x)^x]/x 应写为loga[(1+⊿x/x)^x]1/x 。下面的相应改上。回答很好！我看了有些人的解答，有涉及等价无穷小代换，你这证法很好。