在直角三角形ABC中,角ACB等于90度,CA等于CB,有一个圆心角为45度,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,且

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/12 20:00:33

在直角三角形ABC中,角ACB等于90度,CA等于CB,有一个圆心角为45度,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,且
直线CE,CF分别于AB 交于点M,N.求证以AM,MN,BN为三边的三角形为直角三角形

已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45°,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线CE,CF分别与直线AB交于点M,N．
（Ⅰ）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时,如图1,求证：MN2=AM2+BN2；
（思路点拨：考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式,需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折,得△DCM,连DN,只需证DN=BN,∠MDN=90°就可以了．请你完成证明过程．）
（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时,关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立?若成立,请证明；若不成立,请说明理由．
分析：（Ⅰ）考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式,需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折,得△DCM,连DN,只需证DN=BN,∠MDN=90°就可以了；
（Ⅱ）还将△ACM沿直线CE对折,得△DCM,连DN,△GCM≌△ACM,然后由勾股定理即可证明．
（Ⅰ）∵将△ACM沿直线CE对折,得△DCM,连DN,
∴△DCM≌△ACM（1分）
∴CD=CA,DM=AM,∠DCM=∠ACM,∠CDM=∠A
又∵CA=CB,
∴CD=CB（2分）,
∴∠DCN=∠ECF-∠DCM=45°-∠DCM
∠BCN=∠ACB-∠ECF-∠ACM
=90°-45°-∠ACM=45°-∠ACM
∴∠DCN=∠BCN （3分）
又∵CN=CN,
∴△CDN≌△CBN．（4分）
∴DN=BN,∠CDN=∠B．
∴∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°．（5分）
∴在Rt△MDN中,由勾股定理
∴MN2=DM2+DN2,即MN2=AM2+BN2．（6分）
（Ⅱ）关系式MN2=AM2+BN2仍然成立．（7分）
∵将△ACM沿直线CE对折,得△GCM,连GN,
∴△GCM≌△ACM．（8分）
∴CG=CA,GM=AM,∠GCM=∠ACM,∠CGM=∠CAM,
又∵CA=CB,得CG=CB．
∵∠GCN=∠GCM+∠ECF=GCM+45°
∴∠BCN=∠ACB-∠ACN=90°-（∠ECF-∠ACM）=45°+∠ACM
得∠GCN=∠BCN．（8分）
又∵CN=CN,
∴△CGN≌△CBN．
∵GN=BN,∠CGN=∠B=45°,∠CGM=∠CAM=180°-∠CAB=135°,
∴∠MGN=∠CGM-∠CGN=135°-45°=90°,
∴在RtMGN中,由勾股定理,
∴MN2=GM2+GN2,即MN2=AM2+BN2．（9分）

在直角三角形ABC中,角ACB等于90度,CA等于CB,有一个圆心角为45度,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,且已知Rt△ABC中,∠ACB=90度,CA=CB,有一个圆心角为45度,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线C 已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线C 已知Rt△ABC中,∠ACB=90度,CA=CB,有一个圆心角为45度,半径的长等于CA的扇形CEF绕已知直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45°,半径长为CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线C 等腰直角三角形ABC中,角C等于90度,扇形CE中,圆心角CEF等于45度,CE=CA,扇形绕点C旋转,CE,CF交AB 如图,三角形abc中角acb等于90度,ca等于15cm,cb等于20cm以CA为半径的圆c交ab于d,求ad长直角三角形ABC中,角C等于90度AB,BC,CA的长分别为C,A,B求三角形ABC的内切圆半径在直角三角形ABC中,角C等于90°,AB、BC、CA的长分别为c.a.b,求三角形ABC的内切圆半径R. 在Rt三角形ABC中,角C等于90度,AB,BC,CA的长分别为c,a,b,求三角形ABC的内切圆半径如图,在RT三角形ABC中,角C等于90度,AB,BC,CA的长分别为c,a,b,求三角形ABC的内切圆半径如图,已知rt三角形abc中,角acb等于90度,ac等于6,bc等于8,以c为圆心,ca为半径画弧