已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45°,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线C
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/13 10:29:09
已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45°,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线CE,CF分别与直线AB交于点M,N.
(Ⅰ)当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时,如图1,求证:MN2=AM2+BN2;
(思路点拨:考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式,需转化为在直角三角形中解决.可将△ACM沿直线CE对折,得△DCM,连DN,只需证DN=BN,∠MDN=90°就可以了.请你完成证明过程.)
(Ⅱ)当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时,关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
(Ⅰ)当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时,如图1,求证:MN2=AM2+BN2;
(思路点拨:考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式,需转化为在直角三角形中解决.可将△ACM沿直线CE对折,得△DCM,连DN,只需证DN=BN,∠MDN=90°就可以了.请你完成证明过程.)
(Ⅱ)当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时,关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
(Ⅰ)证明:∵将△ACM沿直线CE对折,得△DCM,连DN,
∴△DCM≌△ACM(1分)
∴CD=CA,DM=AM,∠DCM=∠ACM,∠CDM=∠A
又∵CA=CB,
∴CD=CB(2分),
∴∠DCN=∠ECF-∠DCM=45°-∠DCM
∠BCN=∠ACB-∠ECF-∠ACM
=90°-45°-∠ACM=45°-∠ACM
∴∠DCN=∠BCN (3分)
又∵CN=CN,
∴△CDN≌△CBN.(4分)
∴DN=BN,∠CDN=∠B.
∴∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°.(5分)
∴在Rt△MDN中,由勾股定理
∴MN2=DM2+DN2,即MN2=AM2+BN2.(6分)
(Ⅱ)关系式MN2=AM2+BN2仍然成立.(7分)
证明:∵将△ACM沿直线CE对折,得△GCM,连GN,
∴△GCM≌△ACM.(8分)
∴CG=CA,GM=AM,∠GCM=∠ACM,∠CGM=∠CAM,
又∵CA=CB,得CG=CB.
∵∠GCN=∠GCM+∠ECF=∠GCM+45°
∴∠BCN=∠ACB-∠ACN=90°-(∠ECF-∠ACM)=45°+∠ACM
得∠GCN=∠BCN. (8分)
又∵CN=CN,
∴△CGN≌△CBN.
∴GN=BN,∠CGN=∠B=45°,∠CGM=∠CAM=180°-∠CAB=135°,
∴∠MGN=∠CGM-∠CGN=135°-45°=90°,
∴在Rt△MGN中,由勾股定理,
∴MN2=GM2+GN2,即MN2=AM2+BN2.(9分)
∴△DCM≌△ACM(1分)
∴CD=CA,DM=AM,∠DCM=∠ACM,∠CDM=∠A
又∵CA=CB,
∴CD=CB(2分),
∴∠DCN=∠ECF-∠DCM=45°-∠DCM
∠BCN=∠ACB-∠ECF-∠ACM
=90°-45°-∠ACM=45°-∠ACM
∴∠DCN=∠BCN (3分)
又∵CN=CN,
∴△CDN≌△CBN.(4分)
∴DN=BN,∠CDN=∠B.
∴∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°.(5分)
∴在Rt△MDN中,由勾股定理
∴MN2=DM2+DN2,即MN2=AM2+BN2.(6分)
(Ⅱ)关系式MN2=AM2+BN2仍然成立.(7分)
证明:∵将△ACM沿直线CE对折,得△GCM,连GN,
∴△GCM≌△ACM.(8分)
∴CG=CA,GM=AM,∠GCM=∠ACM,∠CGM=∠CAM,
又∵CA=CB,得CG=CB.
∵∠GCN=∠GCM+∠ECF=∠GCM+45°
∴∠BCN=∠ACB-∠ACN=90°-(∠ECF-∠ACM)=45°+∠ACM
得∠GCN=∠BCN. (8分)
又∵CN=CN,
∴△CGN≌△CBN.
∴GN=BN,∠CGN=∠B=45°,∠CGM=∠CAM=180°-∠CAB=135°,
∴∠MGN=∠CGM-∠CGN=135°-45°=90°,
∴在Rt△MGN中,由勾股定理,
∴MN2=GM2+GN2,即MN2=AM2+BN2.(9分)
已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45°,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线C
已知Rt△ABC中,∠ACB=90度,CA=CB,有一个圆心角为45度,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线C
已知直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45°,半径长为CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线C
已知Rt△ABC中,∠ACB=90度,CA=CB,有一个圆心角为45度,半径的长等于CA的扇形CEF绕
在直角三角形ABC中,角ACB等于90度,CA等于CB,有一个圆心角为45度,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,且
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CA=5,CB=12,以点C为圆心,CA为半径作圆交AB于点D,求BD的长
等腰直角三角形ABC中,角C等于90度,扇形CE中,圆心角CEF等于45度,CE=CA,扇形绕点C旋转,CE,CF交AB
如图,Rt△ABC中,∠C=90°,CA=5,CB=12,以C为圆心,CA为半径作圆交AB于D,求BD的长.
如图,Rt三角形ABC中,角C等于90°,CA=5,CB=12,以C为圆心,CA为半径作圆交AB于D,求BD的长.
已知在△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,直线l在△ABC的外部,且过点C,AD⊥l,BE⊥l,求证△ACD全等△
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,直线l在△ABC的外部且过点C,AD⊥l,BE⊥l,垂足分别为D,E.
如图,△ABC中,∠ACB=90°,CA=15cm,CB=20cm,以CA为半径的圆心C交AB于D.求AD的长.