已知定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)<f(x),且y=f(x+1)为偶函数,f(2)
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/07 15:47:58
已知定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)<f(x),且y=f(x+1)为偶函数,f(2)=1,则不等式f(x)<ex的解集为( )
A. (-∞,e4)
B. (e4,+∞)
C. (-∞,0)
D. (0,+∞)
A. (-∞,e4)
B. (e4,+∞)
C. (-∞,0)
D. (0,+∞)
∵y=f(x+1)为偶函数
∴y=f(x+1)的图象关于x=0对称
∴y=f(x)的图象关于x=1对称
∴f(2)=f(0)
又∵f(2)=1
∴f(0)=1
设g(x)=
f(x)
ex(x∈R),
则g′(x)=
f′(x)ex−f(x)ex
(ex)2=
f′(x)−f(x)
ex
又∵f′(x)<f(x)
∴f′(x)-f(x)<0
∴g′(x)<0
∴y=g(x)单调递减
∵f(x)<ex
∴
f(x)
ex<1
即g(x)<1
又∵g(0)=
f(0)
e0=1
∴g(x)<g(0)
∴x>0
故答案为:(0,+∞)
∴y=f(x+1)的图象关于x=0对称
∴y=f(x)的图象关于x=1对称
∴f(2)=f(0)
又∵f(2)=1
∴f(0)=1
设g(x)=
f(x)
ex(x∈R),
则g′(x)=
f′(x)ex−f(x)ex
(ex)2=
f′(x)−f(x)
ex
又∵f′(x)<f(x)
∴f′(x)-f(x)<0
∴g′(x)<0
∴y=g(x)单调递减
∵f(x)<ex
∴
f(x)
ex<1
即g(x)<1
又∵g(0)=
f(0)
e0=1
∴g(x)<g(0)
∴x>0
故答案为:(0,+∞)
已知定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)<f(x),且y=f(x+1)为偶函数,f(2)
已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=1,f′(x)为f(x)的导函数.已知y=f′(x)的图象如图所示,若两个正数
已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f'(x),满足f'(x)<f(x),且f(x+1)为偶函数,f(2)=1,则
已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)是偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-
已知定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数为f′(x),满足f(x)<f′(x),且f(0)=2,则不等式f(x)ex
若定义域为R函数f(x)满足f(x+y)=2*f(x)*f(y),且f(0)不等于0,证明f(x)是偶函数
若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)=log3
若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3
已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时f(x)<0; (1)求f(0) (2)
定义在R上的函数f(x)的导函数为f‘(x),已知f(x+1)是偶函数,(x—1)f'(x)
定义在R上的函数f(x)为增函数,命题P:函数y=f(x)+f(-x)在R上是偶函数且导函数为增函数;命题Q:函数y=-
已知f(x)是定义在R上的恒不为0的函数,且对任意实数x,y都满足f(x)*f(y)=f(x+y)(1)求f(0)并证明