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如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,PE⊥BC,PF⊥CD,垂足分别为E、F,试判断EF与AP的数量关系,

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/11 15:23:33
如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,PE⊥BC,PF⊥CD,垂足分别为E、F,试判断EF与AP的数量关系,并说明理由.
法一:EF=AP.理由:
∵PE⊥BC,PF⊥CD,四边形ABCD是正方形,
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°,
∴四边形PECF是矩形,
连接PC,
∴PC=EF,
∵P是正方形ABCD对角线上一点,
∴AD=CD,∠PDA=∠PDC,
在△PAD和△PCD中,

AD=CD
∠PDA=∠PDC
PD=PD,
∴△PAD≌△PCD(SAS),
∴PA=PC,
∴EF=AP.
法二:延长FP交AB于点G,
则四边形PEBG是正方形,
∴PE=PG,∠AGP=∠EPF=90°,
∵AG=AB-BG,PF=FG-PG,
∴AG=PF,
在△APG和△FEP中,

AG=FP
∠PGA=∠EPF
PG=PE,
∴△PAG≌△EFP(SAS),
∴AP=EF.