求次数最低的多项式f(x),使其除以(x-1)^2的余式为2x,f(x)除以(x-2)^3余式为3x

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 03:33:21

求次数最低的多项式f(x),使其除以(x-1)^2的余式为2x,f(x)除以(x-2)^3余式为3x
答案是4x^4-27x^3+66x^2-65x+24求这种类型题目的一般解法~

这种题好象计算量不小.
我想到一个做法,方法肯定对,不知是不是最简单的.
第一步在除以(x-2)^3余式为3x的多项式中找能被(x-1)^2整除的,
也就是找a(x),使得g(x)=a(x)(x-2)^3+3x除以(x-1)^2可以除尽
这个找法不难,因为g(x)能除尽(x-1)^2,因此g(1)=0,g'(1)=0,
由g(1)=0可得：-a(1)+3=0,则a(1)=3
g'(x)=a'(x)(x-2)^3+3a(x)(x-2)^2+3
由g'(1)=0可得：-a'(1)+3a(1)+3=0,将a(1)=3代入解得：a'(1)=12
因此满足条件的最低次多项式a(x)=3+12(x-1),即a(x)=12x-9
则g(x)=(12x-9)(x-2)^3+3x
（下面可自行验算(12x-9)(x-2)^3+3x除以(x-1)^2是可以除尽的,我验算过）
第二步：找h(x)=b(x)(x-1)^2+2x,使得h(x)除以(x-2)^3可以除尽,方法与上面差不多.
h'(x)=b'(x)(x-1)^2+2b(x)(x-1)+2
h''(x)=b''(x)(x-1)^2+4b'(x)(x-1)+2b(x)
由h(2)=0得：b(2)+4=0,则b(2)=-4
由h'(2)=0得：b'(2)+2b(2)+2=0,可得：b'(2)=6
由h''(2)=0得：b''(2)+4b'(2)+2b(2)=0,解得：b''(2)=-16
因此可设b(x)=-4+6(x-2)-8(x-2)^2即可（自行验证此时有b(2)=-4,b'(2)=6,b''(2)=-16）
整理后：b(x)=-8x^2+38x-48
因此满足条件的最低次多项式h(x)=(-8x^2+38x-48)(x-1)^2+2x
（自行验证h(x)除以(x-2)^3可以除尽）
第三步：g(x)+h(x)就是满足条件的多项式
原因是g(x)除以(x-1)^2可除尽,h(x)除以(x-1)^2余式是2x,因此g(x)+h(x)除以(x-1)^2余式也是2x；
g(x)除以(x-2)^3余式是3x,h(x)除以(x-2)^3可以除尽,因此g(x)+h(x)除以(x-2)^3余式也是3x.
最后就是计算较大的整理工作了：
g(x)+h(x)=(12x-9)(x-2)^3+3x+(-8x^2+38x-48)(x-1)^2+2x
=24-65x+66x^2-27x^3+4x^4

求次数最低的多项式f(x),使其除以(x-1)^2的余式为2x,f(x)除以(x-2)^3余式为3x 多项式f(x)除以x^4+x^2+1所得的余式为x^3+2x^2+3x+4,证明f(x)除以x^2+x+1所得的余式为x 设多项式f(x)除以(x-1)的余式为2,除以(x^2-2x+3)的余式为(4x+6),则f(x)除以(x-1)(x^2 已知多项式f(x)除以x+2得余数1,除以x+3得余数-1,求f(x)除以(x+2)(x+3)所得的余式多项式f(x)除以(x-1)^2(x+2)^2余式分别为3x+2,5x-3,则f(x)除以(x-1)^2(x+2)的余式设多项式f（x)除以(x-1)(x-2)(x-3)的余式为2X^2+x-7,则f(x)除以（x-1)(x-2)和f(x) 余式定理习题,多项式f(x)除以x^2;+2x+3余x+12,f(x)除以(x+1)^2余5x+4,求多项式f(x)除以已知多项式f(x)除以x+2所得余数为1；除以x+3所得余数为-1,则多项式f(x)除以（x+2）（x+3）所得的余式为因式分解（余式定理）设多项式 f(x)除以x-1,x²-2x+3的余式分别为2,4x+6,则f(x)除以（x- 已知多项式f(x)除以x+2所得余数为1；除以x+3所得余数为-1,则多项式f(x)除以（x+2）（x+3）所得的余式设多项式F(X)除以 X-1,X^2-2X+3 的余式分别为 2 ,4X+6 ,则F(X) 除以(X-1)(X^2-2X 多项式f（x）以x-1除之余式为9，以x-2除之余式为16，求f（x）除以（x-1）（x-2）的余式．