已知椭圆C：x∧2/a∧2+y∧2/b∧2＝1（a＞b＞c）的离心率为√3/2,过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 09:50:08

已知椭圆C：x∧2/a∧2+y∧2/b∧2＝1（a＞b＞c）的离心率为√3/2,过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1,过点M（3,0）的直线与椭圆C相交于两点A,B （1）求椭圆C的方程（2）设P为椭圆上一点,且满足向量OA+向量OB＝t向量OP（O为坐标原点）,当|AB|＜√3时,求实数t的取值范围

解:c=1; 点(-1,√2/2)在椭圆上,有1/a^2+1/2b^2=1.1#
又 a^2-c^2=b^2 带入1# 得出 a^2=2或者a^2=1/2(舍去,因为椭圆里a>c)
标准方程: x^2/2+y^2 = 1

椭圆方程为 x^2 + 2y^2 = 2
设直线l 为 my+1 = x (斜率k=1/m,其实就是 y=k(x-1))代入椭圆方程
得到 (my+1)^2+2y^2-2 = 0 即 (m^2+2)y^2+2my-1=0.1#

设Q坐标(x3,0) A(x1,y1),B(x2,y2)向量QAQB=-7/16等价于 x1x2-x3(x1+x2)+x3^2+y1y2 =-7/16(2#)恒成立

y1y2 = -1/(m^2+2); x1+x2 = 2+m(y1+y2) = 2-2m^2/(m^2+2)=4/ (m^2+2)
x1x2 = m(y1+y2)+1+y1y2m^2 = (-2m^2+m^2+2-m^2)/(m^2+2)=6/(m^2+2)-2
带入2# 令N=m^2+2
6/N-x3*4/N+x3^2-1/N=25/16
(1/N)(5-4x3) = 25/16-x3^2 恒成立

1@ 当x3 = 5/4时,左边=0,右边也=0,恒成立! 检验当直线平行于X轴时,也成立(想想为什么不是平行于Y轴)
2@ 当x3≠ 5/4 时候,1/N = 5/4-x3 右边为常数但左边是变量,不成立

所以存在定点Q(5/4,0)使得命题恒成立

已知椭圆C：x∧2/a∧2+y∧2/b∧2＝1（a＞b＞c）的离心率为√3/2,过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长（2013•哈尔滨一模）已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截（2013•金川区一模）已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截若过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为1/2a,则该椭圆的离心率为已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，F(2，0)为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．已知椭圆C:y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)的右顶点A(1,0),过C的焦点且垂直长轴的弦长为1,求椭圆已知椭圆x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0),直线l1：x/a-y/b=1被椭圆C截得弦长为2√2,过椭圆C的右交点已知椭圆C:x^2+y^2/m=1的焦点在y轴上,且离心率为根号3/2,过点(0,3)的直线l与椭圆C交与两点A,B. 设椭圆x^2+y^2=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为√3/3,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4√3 已知椭圆C:x*2/a*2+y*2/b*2=1(a＞b＞0)的离心率为√3/2,过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线与已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1的离心率为√6/3,过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C 经过椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为