已知函数f(x）是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)＝f(x－1）,若f(0）＝2,则f(2012）的值为

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 02:29:38

已知函数f(x）是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)＝f(x－1）,若f(0）＝2,则f(2012）的值为多少?

因为g(x)＝f(x－1）,所以g(x+1)＝f(x)
因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-x)＝f(x),即g(-x+1)=g(x+1)
因为g(x)是R上的奇函数,所以g(x) = -g(-x)
将x替换成x+1得到g(x+1)=-g(-x-1),结合第二行最后的等式,得到
-g(-x-1) = g(-x+1),将-x换成x得到,-g(x-1) = g(x+1)
再将x+1换成x得到,-g(x-2) = g(x),
将x换成x-2得到-g(x-4) = g(x-2),结合上一行得到g(x) = -(-g(x-4))=g(x-4)
所以我们得出结论,g(x)有一个提点,那就是x每加2,g(x+2)的值就变为负的g(x)了.
也就是f(0) = g(1)=-g(3)=g(5)=-g(7)………………=(-1)^n×g((2n+1))=2
而f(x)=g(x+1),所以f(2012)=g(2013)=(-1)^1006×g((2×1006+1))=2 （这里面n=1006）
所以f(2012) = g(2013) = g(1) = f(0) = 2.
最终结果就是f(2012) = 2
写的可能烦了一点,真正解答的时候可以适当概括一些步骤.

已知函数f(x）是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)＝f(x－1）,若f(0）＝2,则f(2012）的值为已知函数f(x)是在R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f(0)=2,则f（2011）的值若函数f(x),g(x)分别是R上的奇函数,偶函数且满足f(x)-g(x)=2的x次方则有（）若函数f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数,且满足f(x)-g(x)=e^x,则有（）已知函数f（x）、g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）+g（x）=3x，则f（x）的解析式为（　　）若f(x),g(x)是定义在R上的函数,f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)+g(x)=1/(x平方-x+1）若f(x),g(x)定义在R上的函数f(x)是奇函数g(x)是偶函数且f(x)+g(x)=1/（x²-x+1）已知函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且满足f(x)-g 已知f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）是定义在R上的奇函数，且g（x）=f（x-1），则f（2013）+f（2015 已知f（x）,g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f（x）-g（x）=x^3+x^2+1,则f（1）+g（1）= 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+1)为奇函数,若f(2)＝1,则f(1）+f(2）+﹉+f(2014）＝设f（x）是定义在R上的奇函数,函数y=g（x）是R上的偶函数,且f（x）+g（x）=x²+3x+1,求f（x