如图,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起,A为公共顶点,∠BAC=∠AGF=90°,它们的

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 02:50:26

如图,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起,A为公共顶点,∠BAC=∠AGF=90°,它们的斜边长为2,若△ABC固定不动,△AFG绕点A旋转,AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合,点E不与点C重合）,设BE=m,CD=n．

（1）△ABE与△DCA是否相似?请加以说明．

（2）求m与n的函数关系式,直接写出自变量n的取值范围．

（3）当BE=CD时,分别求出线段BD、CE、DE的长,并通过计算验证BD2+CE2=DE2．

（4）在旋转过程中,（3）中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立,若成立,请证明；若不成立,请说明理由．

(1)∠B=∠C=45°
∠DAC=∠DAE+∠EAC = 45°+∠EAC
∠AEB=∠C+∠EAC = 45°+∠EAC
∴∠AEB= ∠DAC
∴△ABE∽△DCA.
(2)∵△ABE∽△DCA,BE=m,CD=n
∴BE:CA=AB:DC
∵BC=2
∴mn=CA*AB=CA²=BC²/2=2
m、n的关系式为 mn=2
当E、C重合时,n最小,此时D是BC中点,n = 1
当B、D重合时,n最大,此时E是BC中点,n = 2
n的取值范围是（1,2）
（3）BE=CD ,即 m=n ∴m=n=√2
BD=BC-CD=2-√2
CE=BC-BE=2-√2
DE=BC-BD-CE=2-(2-√2)-(2-√2)=2√2-2
验证得出BD²+CE²=DE²
（4）BD²+CE²=DE²始终成立.
已知：BE=m,CD=n,BC = 2
说明：DE=BE-BD = BE-(BC-CD) = BE-BC+CD
DE²=BE²+CD²+BC²+2BE*CD-2BE*BC-2CD*BC
=m²+n²+4+2mn-4m-4n
=m²+n²+8-4m-4n
=(2-n)²+(2-m)²
又∵BD=BC-CD = 2-n
CE=BC-BE = 2-m
∴ DE²=BD²+CE²