证明题：从等轴双曲线上一点,到两个焦点的距离的积等于从这个点到双曲线中心距离的平方

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/12 03:40:17

不失一般性,设双曲线方程为：x^2/a^2－y^2/a^2＝1,得：
该双曲线的焦点坐标是F1（－√2a,0）、F2（√2a,0）,该双曲线中心坐标为O（0,0）.
令A（m,n）是该双曲线上的一点.则：
｜AF1｜＝√［（m＋√2a）^2＋n^2］,｜AF2｜＝√［（m－√2a）^2＋n^2］.
∴｜AF1｜｜AF2｜＝√｛［（m＋√2a）^2＋n^2］［（m－√2a）^2＋n^2］｝
＝√［（m^2－2a^2）^2＋（m^2＋2a^2＋2√2am＋m^2＋2a^2－√2am）n^2＋n^4］
＝√［m^4－4a^2m^2＋4a^4＋（2m^2＋4a^2）n^2＋n^4］
＝√（m^4＋2m^2n^2＋n^4＋4a^4－4a^2m^2＋4a^2n^2）
＝√［（m^2＋n^2）^2＋4a^4－4a^2（m^2－n^2）］
显然,m、n满足双曲线方程,∴m^2/a^2－n^2/a^2＝1,∴m^2－n^2＝a^2.
∴｜AF1｜｜AF2｜＝√［（m^2＋n^2）^2＋4a^4－4a^2（a^2）］＝m^2＋n^2.
而｜AO｜^2＝（m－0）^2＋（n－0）^2＝m^2＋n^2.
∴｜AF1｜｜AF2｜＝｜AO｜^2.　　证明完毕.
再问：一个圆的圆心在双曲线x*2-3y*2=12的右焦点上,并且该圆过原点,求这个圆和双曲线的公共点的坐标。麻烦一下。最后一道，帮个忙，谢谢啦。
再答：改写双曲线方程为：x^2/12－y^2/4＝1，∴c＝√（12＋4）＝4， ∴双曲线的右焦点F坐标是（4，0），∴圆的半径＝｜FO｜＝4， ∴圆的方程为：（x－4）^2＋y^2＝16，∴y^2＝16－（x－4）^2，代入给定的双曲线方程中，得： x^2－3［16－（x－4）^2］＝16，　∴x^2－3（16－x^2＋8x－16）＝16， ∴x^2＋3x^2－24x＝16，∴4x^2－24x－16＝0，∴x^2－6x－4＝0 ∴x＝［6＋√（36＋12）］/2＝（6＋4√3）/2＝3＋2√3，　或x＝3－2√3。由x＝3＋2√3，得： y^2＝16－（3＋2√3－4）^2＝16－12＋4√3－1＝3＋4√3， ∴y＝±√（3＋4√3）。由x＝3－2√3，得： y^2＝16－（3－2√3－4）^2＝16－12－4√3－1＝3－4√3＜0，显然是不合理的，应舍去。 ∴满足条件的圆和给定的双曲线的公共点有两个，它们的坐标分别是：（3＋2√3，√（3＋4√3）、（3＋2√3，－√（3＋4√3）。

证明题：从等轴双曲线上一点,到两个焦点的距离的积等于从这个点到双曲线中心距离的平方证明从等轴双曲线上一点,到两个焦点的距离的积等于从这个点到双曲线中心距离的平方已知等轴双曲线X的平方-Y的平方=A的平方及其上一点P 求证:P到它两个焦点距离的积等于P到双曲线的中心距离已知等轴双曲线x^2-y^2=a^2及其上一点P,求证：P到它两个焦点的距离的积等于P到双曲线中心距离的平方求证:等轴双曲线上一点到双曲线中心的距离是它到焦点距离的等比中项【等轴双曲线问题】1.为什么等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项.2. 已知等轴双曲线上有一点p到中心的距离是2,则点p到两个焦点的距离之积是多少? 若等轴双曲线上有一点P到中心的距离为d，那么点P到两个焦点的距离之积为______．求证双曲线x^2-y^2=r^2上的任意一点p到两个焦点的距离之积等於p至双曲线的中心之距离的平方证明从双曲线的一个焦点到一条渐进现的距离等于虚半轴求证：双曲线x^2-y^2=a^2上任意一点P到两焦点的距离的积等于P到这双曲线中心的距离的平方（a>0) 双曲线上任意一点到两个焦点的距离之和等于多少