证明从等轴双曲线上一点,到两个焦点的距离的积等于从这个点到双曲线中心距离的平方
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/12 15:48:02
证明从等轴双曲线上一点,到两个焦点的距离的积等于从这个点到双曲线中心距离的平方
不失一般性,设双曲线方程为:x^2/a^2-y^2/a^2=1,得:
该双曲线的焦点坐标是F1(-√2a,0)、F2(√2a,0),该双曲线中心坐标为O(0,0).
令A(m,n)是该双曲线上的一点.则:
|AF1|=√[(m+√2a)^2+n^2],|AF2|=√[(m-√2a)^2+n^2].
∴|AF1||AF2|=√{[(m+√2a)^2+n^2][(m-√2a)^2+n^2]}
=√[(m^2-2a^2)^2+(m^2+2a^2+2√2am+m^2+2a^2-√2am)n^2+n^4]
=√[m^4-4a^2m^2+4a^4+(2m^2+4a^2)n^2+n^4]
=√(m^4+2m^2n^2+n^4+4a^4-4a^2m^2+4a^2n^2)
=√[(m^2+n^2)^2+4a^4-4a^2(m^2-n^2)]
显然,m、n满足双曲线方程,∴m^2/a^2-n^2/a^2=1,∴m^2-n^2=a^2.
∴|AF1||AF2|=√[(m^2+n^2)^2+4a^4-4a^2(a^2)]=m^2+n^2.
而|AO|^2=(m-0)^2+(n-0)^2=m^2+n^2.
∴|AF1||AF2|=|AO|^2. 证明完毕.
该双曲线的焦点坐标是F1(-√2a,0)、F2(√2a,0),该双曲线中心坐标为O(0,0).
令A(m,n)是该双曲线上的一点.则:
|AF1|=√[(m+√2a)^2+n^2],|AF2|=√[(m-√2a)^2+n^2].
∴|AF1||AF2|=√{[(m+√2a)^2+n^2][(m-√2a)^2+n^2]}
=√[(m^2-2a^2)^2+(m^2+2a^2+2√2am+m^2+2a^2-√2am)n^2+n^4]
=√[m^4-4a^2m^2+4a^4+(2m^2+4a^2)n^2+n^4]
=√(m^4+2m^2n^2+n^4+4a^4-4a^2m^2+4a^2n^2)
=√[(m^2+n^2)^2+4a^4-4a^2(m^2-n^2)]
显然,m、n满足双曲线方程,∴m^2/a^2-n^2/a^2=1,∴m^2-n^2=a^2.
∴|AF1||AF2|=√[(m^2+n^2)^2+4a^4-4a^2(a^2)]=m^2+n^2.
而|AO|^2=(m-0)^2+(n-0)^2=m^2+n^2.
∴|AF1||AF2|=|AO|^2. 证明完毕.
证明从等轴双曲线上一点,到两个焦点的距离的积等于从这个点到双曲线中心距离的平方
证明题:从等轴双曲线上一点,到两个焦点的距离的积等于从这个点到双曲线中心距离的平方
已知等轴双曲线X的平方-Y的平方=A的平方及其上一 点P 求证:P到它两个焦点距离的积等于P到双曲线的中心距离
已知等轴双曲线x^2-y^2=a^2及其上一点P,求证:P到它两个焦点的距离的积等于P到双曲线中心距离的平方
求证:等轴双曲线上一点到双曲线中心的距离是它到焦点距离的等比中项
【等轴双曲线问题】1.为什么等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项.2.
已知等轴双曲线上有一点p到中心的距离是2,则点p到两个焦点的距离之积是多少?
若等轴双曲线上有一点P到中心的距离为d,那么点P到两个焦点的距离之积为______.
求证双曲线x^2-y^2=r^2上的任意一点p到两个焦点的距离之积等於p至双曲线的中心之距离的平方
证明从双曲线的一个焦点到一条渐进现的距离等于虚半轴
求证:双曲线x^2-y^2=a^2上任意一点P到两焦点的距离的积等于P到这双曲线中心的距离的平方(a>0)
双曲线上任意一点到两个焦点的距离之和等于多少