作业帮线性方程组证明题（有图和答案,求解析）（线性代数、基础解系）
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/05 17:04:43
线性方程组证明题（有图和答案,求解析）（线性代数、基础解系）
图片例2,为什么因为P是可逆矩阵,就有r(B)=r(A)=3, 我就这个不明白.
当行列式|P|≠0时,秩r（P）=n,我们就称P是可逆矩阵.
向量组如果是基础解系,那么这些向量一定线性无关,即r（A）=3
如果n维向量α1,α2,α3线性无关,若β1,β2,β3可用α1,α2,α3线性表出,
设(β1,β2,β3)=（α1,α2,α3）P
那么β1,β2,β3线性无关的充分必要条件是|P|≠0
证明如下：
记A=（α1,α2,α3）,B=(β1,β2,β3)
必要性
若β1,β2,β3线性无关,则秩r（B）=r(β1,β2,β3)=3,又
r（B）=r（AP）≤r（P）≤3
因此,秩r（P）=3,即矩阵P可逆,|P|≠0
充分性
若|P|≠0,即矩阵P可逆,那么
r（B）=r(AC)=r(A)=r（α1,α2,α3）=3
所以β1,β2,β3线性无关.
newmanhero 2015年1月4日22:19:11
希望我的解答对你有所帮助.
向量组如果是基础解系,那么这些向量一定线性无关,即r（A）=3
如果n维向量α1,α2,α3线性无关,若β1,β2,β3可用α1,α2,α3线性表出,
设(β1,β2,β3)=（α1,α2,α3）P
那么β1,β2,β3线性无关的充分必要条件是|P|≠0
证明如下：
记A=（α1,α2,α3）,B=(β1,β2,β3)
必要性
若β1,β2,β3线性无关,则秩r（B）=r(β1,β2,β3)=3,又
r（B）=r（AP）≤r（P）≤3
因此,秩r（P）=3,即矩阵P可逆,|P|≠0
充分性
若|P|≠0,即矩阵P可逆,那么
r（B）=r(AC)=r(A)=r（α1,α2,α3）=3
所以β1,β2,β3线性无关.
newmanhero 2015年1月4日22:19:11
希望我的解答对你有所帮助.
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