作业帮 > 数学 > 作业

问一条线性代数的性质我看到一个结论 不知道怎么得出来的 若A可逆,则A可分解为有限个初等方阵之积,于是若A为满秩方阵,R

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/22 15:54:51
问一条线性代数的性质
我看到一个结论 不知道怎么得出来的
若A可逆,则A可分解为有限个初等方阵之积,于是若A为满秩方阵,R(AB)=R(B)或R(BA)=R(B)
可逆不是只能保证A的行列式不等于零,即是满秩吗,为什么说可以分解为有限个初等方阵之积?方阵相乘不就是说这些方阵的行数必须相等,列数必须相等吗?那乘出来的东西不就必须是那些相乘的方阵同行数,同列数的方阵了?不是方阵的矩阵不能可逆吗?
R(AB)=R(B)或R(BA)=R(B)的B是什么东西?这条等式是怎么来的?
“若A可逆,则A可分解为有限个初等方阵之积”：
证明：若A可逆,则A可以通过初等行变换,变成单位阵.我们知道,每做一次初等行变换,相当于左乘一个初等方阵.比如交换A的第一行和第二行,就是A左乘了一个
0 1 0 0 0 ...0
1 0 0 0 0 ...0
0 0 1 0 0 ...0
...
0 0 0 0 0 ...1
当A进行了一系列初等行变换变成单位阵E的时候就是(P1)(P2)(P3)...(Pn)A=E
我们在等式两边左乘(P1^-1),(P2^-1)...(Pn^-1),就得到
A=(Pn^-1)(Pn-1^-1)...(P1^-1)
我们知道,初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵,所以A分解为若干初等矩阵的乘积.
“R(AB)=R(B)或R(BA)=R(B)”：
意思是说：任何矩阵B乘以一个满秩的矩阵A,（不管左乘或者右乘）,它的秩不变.
因为A满秩,所以通过第一个定理,A可以表示为若干初等矩阵的乘积,所以B左乘了A,相当于B左乘了一系列初等矩阵,换言之,就是B做了一系列初等行变换.同样的,B右乘了A,相当于B做了一系列初等列变换.
我们知道初等变换不改变秩,所以B不管做多少次行变换或者列变换,秩都不变,
就是R(AB)=R(B)或R(BA)=R(B)
问一条线性代数的性质我看到一个结论 不知道怎么得出来的 若A可逆,则A可分解为有限个初等方阵之积,于是若A为满秩方阵,R 线性代数 ：若n阶方阵A为不可逆矩阵,则必有R(A) 设A.B均为n阶方阵,则下列结论正确的是 A.若A或B可逆,则必有AB可逆 B.若A或B不可逆,则必有AB可逆 一个线性代数问题.若两个n阶方阵A,B乘积为可逆矩阵.那么r(AB)=n 吗? 线性代数：设A为n阶方阵,若R(A) 线性代数难题1,已知A、B为n阶方阵,P、Q为可逆方阵,若B=AQ,则A的列向量组与B的列向量组等价?怎么推得?2,已知 线性代数 方阵的行列式的性质：请证明方阵的行列式的性质：A,B为方阵,则AB乘积的行列式等于A的行列式与B 1,方阵AB（A为3*2,B为2*3)一定不可逆 2,两个n阶初等矩阵的乘积一定为 可逆矩阵,为什么 3,A为三阶方阵 线性代数 设方阵A有一个特征值为2,证明矩阵A^2-2A不可逆 线性代数判断对错若方阵AB不可逆,则A,B 都不可逆请问错在哪里 线性代数：已知5阶方阵A的秩为4,求秩r（A*）、r【（A*）*】 设A为N的阶方阵,若A经过若干次初等变换成矩阵B,则（）成立?