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线性代数A、B均为n阶实对称矩阵.证明：A与B合同的充分必要条件是二次型f=（X的转置）×A×X与二次型g=（Y 的转置

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 23:17:49
线性代数
A、B均为n阶实对称矩阵.证明：A与B合同的充分必要条件是二次型f=（X的转置）×A×X与二次型g=（Y 的转置）×B×Y具有相同的秩与正惯性指数
充分性：二次型f=X^TAX与二次型g=Y^TBY具有相同的秩与正惯性指数 → 矩阵A与矩阵B合同
因为矩阵A为n阶实对称矩阵
所以存在正交矩阵P,使得P^TAP=Λ1（其中Λ1为对角元素只有±1与0的对角矩阵）
因为矩阵B为n阶实对称矩阵
所以存在正交矩阵Q,使得Q^TBQ=Λ2（其中Λ2为对角元素只有±1与0的对角矩阵）
因为二次型f=X^TAX与二次型g=Y^TBY具有相同的秩与正惯性指数
所以矩阵A与矩阵B具有相同的秩与正惯性指数
所以矩阵Λ1与矩阵Λ2具有相同的秩与正惯性指数
所以Λ1=Λ2,即P^TAP=Q^TAQ
所以QP^TAPQ^T=QQ^TBQQ^T
所以(PQ^T)^TA(PQ^T)=EBE=B
所以矩阵A与矩阵B合同

必要性：矩阵A与矩阵B合同 → 二次型f=X^TAX与二次型g=Y^TBY具有相同的秩与正惯性指数
因为矩阵A与矩阵B合同
所以矩阵A与矩阵B具有相同的秩与正惯性指数（合同变换不改变矩阵的秩与正惯性指数）
所以二次型f=X^TAX与二次型g=Y^TBY具有相同的秩与正惯性指数
线性代数A、B均为n阶实对称矩阵.证明：A与B合同的充分必要条件是二次型f=（X的转置）×A×X与二次型g=（Y 的转置 线性代数 合同的问题n元二次型x^TAx正定的充分必要条件.a,存在正交矩阵P,P^TAP=E c,A与单位矩阵合同d, 设A,B都是n阶对称矩阵,证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA 设A B都是n阶对称矩阵,证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA. 设a,b为n阶对称矩阵.证明:AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA,即A与B可交换 证明中为什 设A,B均为n阶对称矩阵,则AB对称的充分必要条件是：AB=BA 设A,B均为N阶对称矩阵,则AB对称的充分必要条件是:AB=BA. 设A为n阶对称矩阵,B是n阶反对称矩阵,证明AB为反对称矩阵的充分必要条件是AB=BA 设A,B都是n阶矩阵,证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA 线性代数证明题：矩阵A,B合同则二次行x(t)Ax与二次行x(t)Bx的有相同的规范行 线性代数：n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E,怎么证? 设A,B是N阶方阵,f(x）是B的特征多项式,证明f(A)是可逆矩阵的充分必要条件是A与B没有相同的特征值.