设n为正整数,证明：数2∧2∧n+2∧2∧(n-1)+1,至少有n个不同的质因子

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/20 07:48:11

设n为正整数,证明：数2∧2∧n+2∧2∧(n-1)+1,至少有n个不同的质因子
式子是2的（2的n次方）的次方，加上2的（2的n-1的次方）的次方，再加上1

设a(n) = 2^(2^n) + 2^(2^(n-1)) + 1,b(n) = 2^(2^n) - 2^(2^(n-1)) + 1,
则a(n) = 2^(2^n) + 2^(2^(n-1)) + 1
= 2^(2^n) + 2 * 2^(2^(n-1)) + 1 - 2^(2^(n-1))
= (2^(2^(n-1)) + 1)^2 - (2^(2^(n-2)))^2
= (2^(2^(n-1)) + 1 + 2^(2^(n-2)))*(2^(2^(n-1)) + 1 - 2^(2^(n-2)))
= a(n - 1) * b(n - 1)．
故a(n) = a(n - 1) * b(n - 1)= a(n - 2) * b(n - 2) * b(n - 1)
= ...= a(1) * b(1) * b(2) * ...* b(n -1)．
显然a(n) > 1,b(1),...,b(n - 1) > 1,所以a(1),b(1),...,b(n - 1)都有素因子．
因为a(n) - b(n) = 2 * 2^(2^(n-1)),
即a(1) * b(1) * b(2) * ...* b(n -1) - b(n) = 2 * 2^(2^(n-1))．
而a(1),b(1),...,b(n - 1),b(n)都是奇数,
故乘积a(1)b(1)...b(n - 1)与b(n)互素．
因此a(1),b(1),...,b(n - 1)中的每一个都与b(n)互素．
这说明对于{b(n)}中的任意两项b(k)与b(j),b(k)与b(j)都没有公共的素因子．
而且,{b(n)}中的每项b(k)与a(1)也都没有公共的素因子．
故a(1),b(1),...,b(n - 1)中任意两个所包含的素因子都是不同的．
所以,他们的乘积a(n) = a(1) * b(1) * b(2) * ...* b(n -1)至少包含n个不同的素因子．

设n为正整数,证明：数2∧2∧n+2∧2∧(n-1)+1,至少有n个不同的质因子 n是满足下列条件的正整数中最小的数:(1)n是75的倍数(2)n恰有75个正整数因子,求n/7 设k≥1是个奇数,证明对于任意正整数n数1∧k+2∧k+...+n∧k不能被n+2整除设n为正整数,证明：6 | n(n + 1)(2n +1). 证明（n-2)n(n+1)(n+3)+9(n为正整数）是完全平方数急1．设n是正整数,证明6| n(n + 1)(2n + 1). 初等数论设n是正整数,证明6| n(n + 1)(2n + 1). 设n是正整数,证明8^(2n+1)+7^(n+2)是57的倍数相反数大于-n（n为正整数）的正整数有（）个 A n B n-1 C -n+1 D 2n-1 设n为正整数，且64n-7n能被57整除，证明：82n+1+7n+2是57的倍数．设n为正整数,且64n-7n能被57整除,证明:82n+1+7n+2是57的倍数. 计算机2级级若正整数N的所有因子之和等于N 的倍数,则称N为红玫瑰数.