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如图,设△ABC是直角三角形,点D在斜边BC上,BD=4DC.已知圆过点C且与AC相交于F,与AB相切于AB的中点G.求

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/22 05:38:00
如图,设△ABC是直角三角形,点D在斜边BC上,BD=4DC.已知圆过点C且与AC相交于F,与AB相切于AB的中点G.求证:AD⊥BF.
证明:作DE⊥AC于E,
则AC=
5
4AE,AB=5DE,
又∵G是AB的中点,
∴AG=
5
2ED.

25
4ED2=AF•
5
4AE,
∴5ED2=AF•AE,
∴AB•ED=AF•AE,

AB
AE=
AF
ED,
∴△BAF∽△AED,
∴∠ABF=∠EAD,
而∠EAD+∠DAB=90°,
∴∠ABF+∠DAB=90°,
即AD⊥BF.