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线性代数任意n-1个向量都线性无关 是否能推出n个向量都线性无关,若推不出,为什么矩阵相似对角化的时候 若特征值a对应特

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/13 05:16:34
线性代数
任意n-1个向量都线性无关 是否能推出n个向量都线性无关,若推不出,为什么矩阵相似对角化的时候 若特征值a对应特征向量为p1 特征值b=c 两个线性无关的特征向量为p2 p3 根据定理p1 与 p2 线性无关 p1与p3线性无关 根据已知 p2 与p3线性无关 为什么书本就直接说明了 p1 p2 p3线性无关?
以n=4为例,取X1=(1,0,0,0),X2=(0,1,0,0),X3=(0,0,1,0),X4=(1,1,1,0),则任取三个向量线性无关,但这四个向量线性相关.
而特征向量的意思是方阵Ap1=ap1,Ap2=bp2,Ap3=bp3.若p1,p2,p3线性相关,则a=b.与a,b为两个不同特征值矛盾.这其中特征向量由于其特殊性质才推出线性无关的.
再问： 若p1,p2,p3线性相关，则a=b. 这个是定理的逆否命题么？ 如果不用反证法证明 而直接证明容易么 谢谢
再答： 可以理解为特征值a的特征向量p1，与另一个特征值b的特征向量的线性组合（a1p2+a2p3）是线性无关的。因为同一个特征值的特征向量的线性组合也是特征向量，因为A（a1p2+a2p3）=b(a1p2+a2p3)。那么自然p1与p就是线性无关的,则任意p1,p2,p3的线性组合可以看为p1与一个b的特征向量p'的线性组合，不为0。所以p1,p2,p3线性无关
再问： 我想到一个比较严谨的证明  你看下 是否正确
再答： 应该是对的。
线性代数任意n-1个向量都线性无关 是否能推出n个向量都线性无关,若推不出,为什么矩阵相似对角化的时候 若特征值a对应特 [线性代数]有n个线性无关的特征向量的n阶矩阵,是否一定可以相似对角化 关于矩阵对角化的问题矩阵对角化的条件就是矩阵A存在n个线性无关的特征向量,如果A有的特征值有重根的话,那么重根对应的向量 一道线性代数习题证明对任意的m>n,存在m个n维向量,使得任意n个向量线性无关.是使其中任意n个都线性无关 n阶矩阵A可以对角化的充要条件为A有n个线性无关特征向量,但同一特征值所对应的特征向量就是无穷个, 线性代数问题,矩阵a要能够相似对角化,并且特征值有重根,为什么要有二重根的那个特征值对应有两个线性无关的特征向量呢?这与 线性代数：矩阵a要能够相似对角化,并且特征值有重根,为什么要有二重根的那个特征值对应有两个线性无关的特征向量呢?这与此时 若n阶矩阵A有n个属于特征值1的线性无关的向量,怎么证此时A为n阶单位矩阵. 线性代数：为什么n个n维向量可以表示任意一个n维向量的充分必要条件是n个n维向量是线性无关的? 为什么n维线性空间中的n个线性无关的向量都可以构成它的一组基? 在证明是否可以矩阵对角化过程中,利用定理n阶矩阵A可以对角化的充要条件为A有n个线性无关特征向量 线性代数问题 一个矩阵若可对角化 那么 它的一个特征值若为k重特征根 则对应k个线性无关的特征向量