为什么n维线性空间中的n个线性无关的向量都可以构成它的一组基?
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/22 00:51:08
为什么n维线性空间中的n个线性无关的向量都可以构成它的一组基?
在空间中任取一个向量b 加入这n个线性无关的向量ai(i=1,2,...,n)
那么这n+1个向量一定是线性相关的
故存在一组不全为0的ki(i=1,2,...,n)和c
使得k1*a1+k2*a2+...+kn*an+c*b=0
易知c≠0
那么把等式整理下 可得b=...
即b可由ai(i=1,2,...,n)线性表示
由b得任意性知ai(i=1,2,...,n)是空间的一组基
再问: 首先谢谢您的回答,说到n维线性空间,由定义知基中向量的个数一定是n个。这么证行不行?谢谢!!^_^
再答: 其实n维线性空间的基的定义就是n个线性无关的向量啊 你的问题根本不用证明 就是定义而已 我的证明也是多此一举 我觉得你把你问题中的"为什么"改成"如何理解"比较好
那么这n+1个向量一定是线性相关的
故存在一组不全为0的ki(i=1,2,...,n)和c
使得k1*a1+k2*a2+...+kn*an+c*b=0
易知c≠0
那么把等式整理下 可得b=...
即b可由ai(i=1,2,...,n)线性表示
由b得任意性知ai(i=1,2,...,n)是空间的一组基
再问: 首先谢谢您的回答,说到n维线性空间,由定义知基中向量的个数一定是n个。这么证行不行?谢谢!!^_^
再答: 其实n维线性空间的基的定义就是n个线性无关的向量啊 你的问题根本不用证明 就是定义而已 我的证明也是多此一举 我觉得你把你问题中的"为什么"改成"如何理解"比较好
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a1,a2,…an是一组n维向量,证明:它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量组都可以由它们线性表示.
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设a1,a2,…,an是一组线性无关的n维向量,证明:任一n维向量都可由它们线性表示.
刘老师您好,问您一个问题:n维向量空间的基一定要是n个线性无关的n维向量吗?
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