解一道排列组合的题从1,2,3,4到20,这20个自然数中任取3个不同的数使他成为等差数列,这样的等差数列共有多少个说清

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/26 16:45:22

解一道排列组合的题
从1,2,3,4到20,这20个自然数中任取3个不同的数使他成为等差数列,这样的等差数列共有多少个
说清做题过程

等差数列的公差可以是负数的,所以思考完正数后还要乘以2.我们一起来仔细算算：d＝1时1、2、3……18、19、20 任取3个连续数,共18种；
d＝2时1、3、5、……15、17、19或2,4,……20,任取3个连续数,共16种；
d＝3时 1,4,7,10,13,16,19或2,5,8,11,14,17,20或3,6,9,12,15,18,共14种；
d＝4,共12种；
d＝5,共10种；
d=6,共8种；
d=7,共6种；
d=8,共4种；
d=9,共2种.
相信你看出规律了,所以共有（2+4+……+18）*2=180种
我们还可以这样思考：以谁为等差数列的首项?
如果是1,有1、2,1、3,1、4……1、10（第三个数必然唯一,不用考虑可能性,只要考虑存在性即可）,共9种；
如果是2,有2、3,2、4……2、11,共9种；
……所以我们猜想：是不是每一个数字开头都有9种可能,显然是的.
可以算一算,从3开始要考虑两个方向：3、4,3、5……3、11还有3、2,共9种；
则共有9*20=180种