椭圆的证明题如图,椭圆的两切线为PA,PB.过P作椭圆的一条割线交椭圆于C,D,且与AB交于点Q求证：PQ是PC,PD的

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 06:43:02

椭圆的证明题
如图,椭圆的两切线为PA,PB.过P作椭圆的一条割线交椭圆于C,D,且与AB交于点Q
求证：PQ是PC,PD的调和平均.
注：图中字母有点问题,我把PCD与AB的交点也标成P了

分析：由于椭圆是圆柱面与平面的交线,因此此题可放到空间中解决.
作椭圆的正投影,投影成圆,在圆中解决这个问题.
而在圆中,可用“调和平均×算术平均=几何平均的平方”来证明
证明：作椭圆的正投影,对应点加＇（我的图忘加了）,设直线PQ与圆所在平面的夹角为α.
∵C,D,Q∈直线PQ,∴P’Q‘=PQcosα,P’C‘=PCcosα,P’D‘=PDcosα
圆O’中,过O‘作O’E‘⊥P’D‘,则E’为C‘D’中点,∴P‘E’=½（P‘C’+P‘D’）
连接P‘O’,交A‘B’于F‘,则P’O‘⊥A’B‘
由切割线定理,P‘A’²=P'C'×P’D‘——①
∵P’A‘是○O’的切线,∴O‘A’⊥P‘A’
Rt△P‘O’A‘中,由射影定理P’F‘×P’O‘=P’A‘²——②
Rt△P’F’Q’和Rt△P‘O’E‘中,用三角函数易得P’Q‘×P’E‘=P’F‘×P’O‘——③
联立以上三式,可得P’Q‘×P’E‘=P’C‘×P'D'
∵P’E‘是P’C‘,P’D‘的算术平均,P'C'×P'D'是P’C‘,P’D‘几何平均的平方
∴P‘Q’是P‘C’,P‘D’的调和平均.
即PQcosα是PCcosα和PDcosα的调和平均
约去cosα,得PQ是PC,PD的调和平均
注：调和平均×算术平均=几何平均²的证明
调和平均=2ab/(a+b),算术平均=½（a+b）
∴调和平均×算术平均=几何平均²
椭圆的几何证明中,往往可以放到空间中,作它的正投影,化为圆的几何证明.我感觉圆锥曲线
的几何证明都可以采用这种方法,不过需要的是中心投影.推荐一本书《圆锥曲线论》.
再问：思路挺有创造性。求图
再答：图片

椭圆的证明题如图,椭圆的两切线为PA,PB.过P作椭圆的一条割线交椭圆于C,D,且与AB交于点Q求证：PQ是PC,PD的 PA,PB为圆的两条切线,切点分别为A,B过P的直线交圆于C,D两点,交弦AB于点D求证,PQ·PQ=PC·PD—QC· 平面几何超难题如图所示.已知椭圆的焦点为F,准线为l.PA、PB是椭圆的两条切线.PF、AB交于点R,过R作RQ∥长轴, 椭圆C:x2/2+y2=1,B为椭圆的上顶点,过B的两条直动线BP,BQ分别交椭圆C于点P,Q,若BP垂直BQ,求证PQ Y已知椭圆方程为y^2/2+x^2=1 ,斜率为k的直线l 过椭圆的上焦点且与椭圆交于点P ,Q两点,线段PQ的垂直平分过点(2,3)作动直线l交椭圆x²/4+y²=1于不同的点P,Q,过P,Q作椭圆的切线,两条切线的交圆锥曲线题~以坐标原点为中心,焦点在坐标轴上的椭圆中,过右焦点F做直线交椭圆与点P,B,PB延长线交右准线于点Q,且P为一道椭圆的题目已知F1F2是椭圆的两个焦点,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,PF1垂直PQ,且PF1=PQ,求椭圆的离心一圆的圆心为椭圆右焦点,且圆过椭圆的中心交椭圆于P,直线PF （F 为椭圆左焦点）是圆切线,椭圆的离心率由F1F2是椭圆两焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于AB两点,若角ABF2是等腰直角三角形,离心率? 已知椭圆C方程为,若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1,过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA PB分别交 PA.PB切圆o于A.B两点,过P 作切线,叫与圆于C.D,过B作BE平行于CD,连接AE交PD于M,求证M为DC的中点