全微分为什么是各个自变量的偏增量之和呢?为什么不是它们的积呢?书上定义全微分有什么理论依据啊?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/06 05:56:54

可以用一个比较几何比较不严格的方式解释么?
姑且以2元函数举例（其他应该也差不多）,设z=f(x,y).
则z对x的偏微分z+dx(z)=f(x+dx,y)（这么表示很外行而且很别扭对吧,但是那个符号找不到.敬请将dx(z)理解为z对x的偏微分.微分符号乱写的问题也忍耐下吧）.
z+dx(z)再对y的偏微分z+dx(z)+dy(z+dx(z))=f(x+dx,y+dy).
鉴于dx可以理解为是“无穷小增量”,所以函数在z和在(z+dx(z))的对y的偏微分是等价的,亦即z+dx(z)+dy(z)=f(x+dx,y+dy).
综上所述,当x,y同时有“无穷小增量”（用词不专业,请原谅）时,z的总增量是dx(z)+dy(z).并将此定义为z的全微分.
关于几何解释,仍以2元函数说.在空间坐标系中,函数图像呈一个曲面.取一极小“微元”,四端点(x,y),(x,y+dy),(x+dx,y),(x+dx,y+dy),（z轴坐标稍候讨论）可看作平面.设初始点(x,y,z),则由于是平面,对边平行（否则就是异面,不会相交）,由此可以证明,另三点坐标(x,y+dy,z+dy(z)),(x+dx,y,z+dx(z))(x+dx,y+dy,z+dx(z)+dy(z)).（这是立几问题）
所以z的总增量就是各偏微分之和.
由于我也不是很熟练,不严格处见谅.

全微分为什么是各个自变量的偏增量之和呢?为什么不是它们的积呢?书上定义全微分有什么理论依据啊? 多元微分定义求解答全增量-线性增量=0不就行了为什么还要比上两点间的长度呀自变量的微分等于自变量的增量? 通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分吗为什么函数微分,自变量的变化为什么等于自变量的微分二元函数全微分我想问划红线的那句话,因为题目U对X、Y求偏导,所以x、y是自变量对吧,那为什么u是因变量呢,从而z是因变函数的微分为什么等于函数的导数与自变量微分的积?那还是不是说自变量微分还可以化解? 高等数学二元函数中,全增量△z是否一定大于全微分dz?为什么? 哪位高手给我用通俗的语言说说微分的几何意义啊?它说是该点切线纵坐标的增量,增量不是有相对的吗?在一个点出怎么有增量呢?具微分中的dx表示自变量的增量,不定积分中的dx是不是也有这个含义呢?有人说不定积分中的dx仅仅是莱布尼兹微分中为什么函数因变量的增量能表示成自变量乘以A再加上高阶无穷小积分是微分的反导函数,它们之间为什么是这种关系?是怎样证明的呢?