分块矩阵计算A B均为2阶矩阵,|A|=2,|B|=3 则行列式|0 A||B 0|的值等于?为什么不是 0*0-|A|

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/08 11:08:02

分块矩阵计算
A B均为2阶矩阵,|A|=2,|B|=3 则行列式
|0 A|
|B 0|的值等于?
为什么不是 0*0-|A||B|=-6,而是(-1)^4|A||B|=6
说具体点啊为什么直接|A||B| 这用哪个公式？书上没有分块矩阵行列式的公式

这个问题可以有更一般的形式,比如A是m阶的,B是n阶的.一个比较简单的想法就是先把|0 A|,|B 0| 也就是整个矩阵的行列式的第一列与最后一列,第二列与倒数第二列等等互换,如果m+n是偶数,那么这个过程需要 (m+n)/2 步,相应地行列式的值应该乘以 (-1)^(m+n)/2,互换过的矩阵相当于A,B自身分别第一列与最后一列,第二列与倒数第二列,...互换,所以再换回来,方法与上面整体互换一样,于是可以得到下面的结论:
m,n均为偶数,互换要进行 (m+n)/2+m/2+n/2=m+n步,此时行列式的值要乘以
(-1)^(m+n),也就是行列式值不变.
m,n一个奇数,一个偶数,此时要换 m+n-1 步,((m+n-1)/2+(m-1)/2+n/2=m+n-1或者 (m+n-1)/2+m/2+(n-1)2=m+n-1;)行列式的值要乘以(-1)^(m+n-1) ,所以行列式的值仍然不变.
m,n均为奇数,此时要互换 (m+n)/2+(m-1)/2+(n-1)/2=m+n-1 为奇数,所以行列式的值要变号.
本题里就是一个奇数一个偶数,所以要换 2+3-1=4次,行列式值不变.

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