作业帮设α是非零n维列向量,A=αα′,证明⑴A^2=A等价于α′α=1；⑵α′α=1时,A不可逆
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/13 08:50:04
设α是非零n维列向量,A=αα′,证明⑴A^2=A等价于α′α=1；⑵α′α=1时,A不可逆
1,先证A^2=A可以推出α‘α=1,由于A=αα',则A^2=(αα')(αα')=α(α'α)α',注意α’α是一个数,设为k,即k=α'α,则由A^2=A得kαα'=αα',由于α为非零向量,故k=1.再证α‘α=1可以推出A^2=A,同理,直接由等式A^2=(αα')(αα')=α(α'α)α'=αα‘=A得到.综上二者是的等价的.
第二问的条件没有用,由r(AB)≤min{r(A),r(B)},且r(α)=r(α')=1,可知r(A)≤1,而α为非零向量保证了A不是零矩阵,即r(A)≥1,因此r(A)=1.所以当n≥2时,矩阵A不是满秩的,自然不可逆,用不到条件α’α=1.另外题目最好加上条件n≥2,因为n=1时,A,α都是数,通常不讨论它们是否可逆,而如果一定要讨论,就只能看A是否等于0,由α≠0可知A≠0,所以n=1时A可逆.
第二问的条件没有用,由r(AB)≤min{r(A),r(B)},且r(α)=r(α')=1,可知r(A)≤1,而α为非零向量保证了A不是零矩阵,即r(A)≥1,因此r(A)=1.所以当n≥2时,矩阵A不是满秩的,自然不可逆,用不到条件α’α=1.另外题目最好加上条件n≥2,因为n=1时,A,α都是数,通常不讨论它们是否可逆,而如果一定要讨论,就只能看A是否等于0,由α≠0可知A≠0,所以n=1时A可逆.
设α是非零n维列向量,A=αα′,证明⑴A^2=A等价于α′α=1；⑵α′α=1时,A不可逆
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α1,α2...αm是m个n维列向量,且A是可逆的n阶可逆矩阵 证明当α1,α2...αm线性相关时,Aα1,Aα2..
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