一扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角a等于多少时,这个扇形的面积最大?最大面积是多少?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 07:33:57

一扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角a等于多少时,这个扇形的面积最大?最大面积是多少?
设扇形的半径为R,则扇形的弧长L ,则2R+L=20 cm
扇形面积S=1/2RL
因为 RL≤[(R+L)/2]^2 ,并且当且仅当R=L时取等号
即当R=L时RL取得最大值
所以根据2R+L=20 cm 求得R=L=20/3 cm
故圆心角a=L/R=1
最大面积为 S=1/2×(20/3)^2=200/9
请问该解答错在哪里?

这是利用不能式来做.但是你弄混淆了一个概念：RL≤[(R+L)/2]^2这个不等式没有错.但[(R+L)/2]^2并不是RL的最大值.还有比[(R+L)/2]^2更大的那就是2RL
再问：嗯，思路渐渐清晰了！你是却中要害了，说到点子上了！ RL≤[(R+L)/2]^2这个不等式成立与不等式左边RL取得最大值是两个不同的问题。但是对于不等式左边RL能够取到最大值的条件我还是不甚清楚，那就有劳您进一步阐释一下了！
再答：你已经快清楚了，我再解释一下：有一个不等式：RL≤[(R+L)/2]^2 当且仅当R=L时，可以变成等号。就是RL=[(R+L)/2]^2。但是，[(R+L)/2]^2是不是最大值，什么时候是最大值，都不确定。因为中间R+L是个变化的。只有我们能够确定R+L是个定值的时候，那么这个值就是最大值了。因为其它都小于这个定值。所以在利用不等式求最值时，要么找xy=定值（这样是最小值）要么找x+y=定值，这是最大值。当然不要拘泥于x是一个数，也有可能带系数。比如，ax+y>=2根号axy。所以带个系数没关系。